Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{e} x + \frac{1}{x} d x$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{e} x d x + \int_{0}^{e} \frac{1}{x} d x$

Этап 2

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{e} + \int_{0}^{e} \frac{1}{x} d x$

Этап 3

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{e} + \ln (| x |)]_{0}^{e}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим $\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{e}$ и $\ln (| x |)]_{0}^{e}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |)]_{0}^{e}$

Этап 4.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Найдем значение $\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |)$ в $e$ и в $0$ .

$(\frac{1}{2} e^{2} + \ln (| e |)) - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} + \ln (| 0 |))$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $e^{2}$ .

$\frac{e^{2}}{2} + \ln (| e |) - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} + \ln (| 0 |))$

Этап 4.2.2.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{e^{2}}{2} + \ln (| e |) - (\frac{1}{2} \cdot 0 + \ln (| 0 |))$

Этап 4.2.2.3

Умножим $\frac{1}{2}$ на $0$ .

$\frac{e^{2}}{2} + \ln (| e |) - (0 + \ln (| 0 |))$

Этап 4.2.2.4

Добавим $0$ и $\ln (| 0 |)$ .

$\frac{e^{2}}{2} + \ln (| e |) - \ln (| 0 |)$

Этап 4.3

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{e^{2}}{2} + \ln (\frac{| e |}{| 0 |})$

Этап 4.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $0$ равно $0$ .

$\frac{e^{2}}{2} + \ln (\frac{| e |}{0})$

Этап 4.4.2

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{e^{2}}{2} + \ln (\frac{| e |}{0})$

Этап 4.5

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{e^{2}}{2} + \ln (\frac{| e |}{0})$

Этап 5

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные