Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{π} 4 e^{x} + 9 \sin (x) d x$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{π} 4 e^{x} d x + \int_{0}^{π} 9 \sin (x) d x$

Этап 2

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$4 \int_{0}^{π} e^{x} d x + \int_{0}^{π} 9 \sin (x) d x$

Этап 3

Интеграл $e^{x}$ по $x$ имеет вид $e^{x}$ .

$4 (e^{x}]_{0}^{π}) + \int_{0}^{π} 9 \sin (x) d x$

Этап 4

Поскольку $9$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $9$ из-под знака интеграла.

$4 (e^{x}]_{0}^{π}) + 9 \int_{0}^{π} \sin (x) d x$

Этап 5

Интеграл $\sin (x)$ по $x$ имеет вид $- \cos (x)$ .

$4 (e^{x}]_{0}^{π}) + 9 (- \cos (x)]_{0}^{π})$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Найдем значение $e^{x}$ в $π$ и в $0$ .

$4 ((e^{π}) - e^{0}) + 9 (- \cos (x)]_{0}^{π})$

Этап 6.1.2

Найдем значение $- \cos (x)$ в $π$ и в $0$ .

$4 (e^{π} - e^{0}) + 9 (- \cos (π) + \cos (0))$

Этап 6.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$4 (e^{π} - 1 \cdot 1) + 9 (- \cos (π) + \cos (0))$

Этап 6.1.3.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$4 (e^{π} - 1) + 9 (- \cos (π) + \cos (0))$

Этап 6.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$4 (e^{π} - 1) + 9 (- \cos (π) + 1)$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 e^{π} + 4 \cdot - 1 + 9 (- \cos (π) + 1)$

Этап 7.1.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$4 e^{π} - 4 + 9 (- \cos (π) + 1)$

Этап 7.1.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.3.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$4 e^{π} - 4 + 9 (- - \cos (0) + 1)$

Этап 7.1.3.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$4 e^{π} - 4 + 9 (- (- 1 \cdot 1) + 1)$

Этап 7.1.3.3

Умножим $- (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.3.3.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$4 e^{π} - 4 + 9 (- - 1 + 1)$

Этап 7.1.3.3.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$4 e^{π} - 4 + 9 (1 + 1)$

Этап 7.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$4 e^{π} - 4 + 9 \cdot 2$

Этап 7.1.5

Умножим $9$ на $2$ .

$4 e^{π} - 4 + 18$

Этап 7.2

Добавим $- 4$ и $18$ .

$4 e^{π} + 14$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$4 e^{π} + 14$

Десятичная форма:

$106.56277053 \dots$