Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{5} \frac{1}{25 + x^{2}} d x$

Этап 1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$\int_{0}^{5} \frac{1}{5^{2} + x^{2}} d x$

Этап 2

Интеграл $\frac{1}{5^{2} + x^{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{5} \arctan (\frac{x}{5})]_{0}^{5}$ .

$\frac{1}{5} \arctan (\frac{x}{5})]_{0}^{5}$

Этап 3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $\frac{1}{5}$ и $\arctan (\frac{x}{5})$ .

$\frac{\arctan (\frac{x}{5})}{5}]_{0}^{5}$

Этап 3.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Найдем значение $\frac{\arctan (\frac{x}{5})}{5}$ в $5$ и в $0$ .

$(\frac{\arctan (\frac{5}{5})}{5}) - \frac{\arctan (\frac{0}{5})}{5}$

Этап 3.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\arctan (\frac{5}{5})}{5} - \frac{\arctan (\frac{0}{5})}{5}$

Этап 3.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\arctan (1)}{5} - \frac{\arctan (\frac{0}{5})}{5}$

Этап 3.2.2.2

Сократим общий множитель $0$ и $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Вынесем множитель $5$ из $0$ .

$\frac{\arctan (1)}{5} - \frac{\arctan (\frac{5 (0)}{5})}{5}$

Этап 3.2.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$\frac{\arctan (1)}{5} - \frac{\arctan (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1})}{5}$

Этап 3.2.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\arctan (1)}{5} - \frac{\arctan (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1})}{5}$

Этап 3.2.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\arctan (1)}{5} - \frac{\arctan (\frac{0}{1})}{5}$

Этап 3.2.2.2.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$\frac{\arctan (1)}{5} - \frac{\arctan (0)}{5}$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\arctan (1) - \arctan (0)}{5}$

Этап 3.3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Точное значение $\arctan (1)$ : $\frac{π}{4}$ .

$\frac{\frac{π}{4} - \arctan (0)}{5}$

Этап 3.3.2.2

Точное значение $\arctan (0)$ : $0$ .

$\frac{\frac{π}{4} - 0}{5}$

Этап 3.3.2.3

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{\frac{π}{4} + 0}{5}$

Этап 3.3.3

Добавим $\frac{π}{4}$ и $0$ .

$\frac{\frac{π}{4}}{5}$

Этап 3.3.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{5}$

Этап 3.3.5

Умножим $\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.1

Умножим $\frac{π}{4}$ на $\frac{1}{5}$ .

$\frac{π}{4 \cdot 5}$

Этап 3.3.5.2

Умножим $4$ на $5$ .

$\frac{π}{20}$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{π}{20}$

Десятичная форма:

$0.15707963 \dots$

Этап 5