Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{5 π} - 3 \sin (x) + 4 \cos (x) d x$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{5 π} - 3 \sin (x) d x + \int_{0}^{5 π} 4 \cos (x) d x$

Этап 2

Поскольку $- 3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 3$ из-под знака интеграла.

$- 3 \int_{0}^{5 π} \sin (x) d x + \int_{0}^{5 π} 4 \cos (x) d x$

Этап 3

Интеграл $\sin (x)$ по $x$ имеет вид $- \cos (x)$ .

$- 3 (- \cos (x)]_{0}^{5 π}) + \int_{0}^{5 π} 4 \cos (x) d x$

Этап 4

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$- 3 (- \cos (x)]_{0}^{5 π}) + 4 \int_{0}^{5 π} \cos (x) d x$

Этап 5

Интеграл $\cos (x)$ по $x$ имеет вид $\sin (x)$ .

$- 3 (- \cos (x)]_{0}^{5 π}) + 4 (\sin (x)]_{0}^{5 π})$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Найдем значение $- \cos (x)$ в $5 π$ и в $0$ .

$- 3 ((- \cos (5 π)) + \cos (0)) + 4 (\sin (x)]_{0}^{5 π})$

Этап 6.1.2

Найдем значение $\sin (x)$ в $5 π$ и в $0$ .

$- 3 (- \cos (5 π) + \cos (0)) + 4 (\sin (5 π) - \sin (0))$

Этап 6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$- 3 (- \cos (5 π) + 1) + 4 (\sin (5 π) - \sin (0))$

Этап 6.2.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$- 3 (- \cos (5 π) + 1) + 4 (\sin (5 π) - 0)$

Этап 6.2.3

Умножим $- 1$ на $0$ .

$- 3 (- \cos (5 π) + 1) + 4 (\sin (5 π) + 0)$

Этап 6.2.4

Добавим $\sin (5 π)$ и $0$ .

$- 3 (- \cos (5 π) + 1) + 4 \sin (5 π)$

Этап 6.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$- 3 (- \cos (π) + 1) + 4 \sin (5 π)$

Этап 6.3.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$- 3 (- - \cos (0) + 1) + 4 \sin (5 π)$

Этап 6.3.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$- 3 (- (- 1 \cdot 1) + 1) + 4 \sin (5 π)$

Этап 6.3.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 3 (- - 1 + 1) + 4 \sin (5 π)$

Этап 6.3.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- 3 (1 + 1) + 4 \sin (5 π)$

Этап 6.3.6

Добавим $1$ и $1$ .

$- 3 \cdot 2 + 4 \sin (5 π)$

Этап 6.3.7

Умножим $- 3$ на $2$ .

$- 6 + 4 \sin (5 π)$

Этап 6.3.8

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$- 6 + 4 \sin (π)$

Этап 6.3.9

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$- 6 + 4 \sin (0)$

Этап 6.3.10

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$- 6 + 4 \cdot 0$

Этап 6.3.11

Умножим $4$ на $0$ .

$- 6 + 0$

Этап 6.3.12

Добавим $- 6$ и $0$ .

$- 6$