Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{5} \cos (5 x) d x$

Этап 1

Пусть $u = 5 x$ . Тогда $d u = 5 d x$ , следовательно $\frac{1}{5} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = 5 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

Этап 1.1.2

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Этап 1.1.4

Умножим $5$ на $1$ .

$5$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = 5 x$ .

$u_{lower} = 5 \cdot 0$

Этап 1.3

Умножим $5$ на $0$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = 5 x$ .

$u_{upper} = 5 \cdot 5$

Этап 1.5

Умножим $5$ на $5$ .

$u_{upper} = 25$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 25$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{0}^{25} \cos (u) \frac{1}{5} d u$

Этап 2

Объединим $\cos (u)$ и $\frac{1}{5}$ .

$\int_{0}^{25} \frac{\cos (u)}{5} d u$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{5}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{5}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{5} \int_{0}^{25} \cos (u) d u$

Этап 4

Интеграл $\cos (u)$ по $u$ имеет вид $\sin (u)$ .

$\frac{1}{5} \sin (u)]_{0}^{25}$

Этап 5

Найдем значение $\sin (u)$ в $25$ и в $0$ .

$\frac{1}{5} (\sin (25) - \sin (0))$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{1}{5} (\sin (25) - 0)$

Этап 6.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{1}{5} (\sin (25) + 0)$

Этап 6.3

Добавим $\sin (25)$ и $0$ .

$\frac{1}{5} \sin (25)$

Этап 6.4

Объединим $\frac{1}{5}$ и $\sin (25)$ .

$\frac{\sin (25)}{5}$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем значение $\sin (25)$ .

$\frac{- 0.13235175}{5}$

Этап 7.2

Разделим $- 0.13235175$ на $5$ .

$- 0.02647035$