Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{3500} 150 - 0.04 x + 0.0002 x^{2} d x$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{3500} 150 d x + \int_{0}^{3500} - 0.04 x d x + \int_{0}^{3500} 0.0002 x^{2} d x$

Этап 2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$150 x]_{0}^{3500} + \int_{0}^{3500} - 0.04 x d x + \int_{0}^{3500} 0.0002 x^{2} d x$

Этап 3

Поскольку $- 0.04$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 0.04$ из-под знака интеграла.

$150 x]_{0}^{3500} - 0.04 \int_{0}^{3500} x d x + \int_{0}^{3500} 0.0002 x^{2} d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$150 x]_{0}^{3500} - 0.04 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{3500}) + \int_{0}^{3500} 0.0002 x^{2} d x$

Этап 5

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$150 x]_{0}^{3500} - 0.04 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3500}) + \int_{0}^{3500} 0.0002 x^{2} d x$

Этап 6

Поскольку $0.0002$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $0.0002$ из-под знака интеграла.

$150 x]_{0}^{3500} - 0.04 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3500}) + 0.0002 \int_{0}^{3500} x^{2} d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$150 x]_{0}^{3500} - 0.04 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3500}) + 0.0002 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{3500})$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$150 x]_{0}^{3500} - 0.04 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3500}) + 0.0002 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3500})$

Этап 8.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Найдем значение $150 x$ в $3500$ и в $0$ .

$(150 \cdot 3500) - 150 \cdot 0 - 0.04 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3500}) + 0.0002 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3500})$

Этап 8.2.2

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $3500$ и в $0$ .

$150 \cdot 3500 - 150 \cdot 0 - 0.04 (\frac{3500^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 0.0002 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3500})$

Этап 8.2.3

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $3500$ и в $0$ .

$150 \cdot 3500 - 150 \cdot 0 - 0.04 (\frac{3500^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 0.0002 ((\frac{3500^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 8.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.1

Умножим $150$ на $3500$ .

$525000 - 150 \cdot 0 - 0.04 (\frac{3500^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 0.0002 ((\frac{3500^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 8.2.4.2

Умножим $- 150$ на $0$ .

$525000 + 0 - 0.04 (\frac{3500^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 0.0002 ((\frac{3500^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 8.2.4.3

Добавим $525000$ и $0$ .

$525000 - 0.04 (\frac{3500^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 0.0002 ((\frac{3500^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 8.2.4.4

Возведем $3500$ в степень $2$ .

$525000 - 0.04 (\frac{12250000}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 0.0002 ((\frac{3500^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 8.2.4.5

Сократим общий множитель $12250000$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.5.1

Вынесем множитель $2$ из $12250000$ .

$525000 - 0.04 (\frac{2 \cdot 6125000}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 0.0002 ((\frac{3500^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 8.2.4.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$525000 - 0.04 (\frac{2 \cdot 6125000}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2}) + 0.0002 ((\frac{3500^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 8.2.4.5.2.2

Сократим общий множитель.

$525000 - 0.04 (\frac{2 \cdot 6125000}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2}) + 0.0002 ((\frac{3500^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 8.2.4.5.2.3

Перепишем это выражение.

$525000 - 0.04 (\frac{6125000}{1} - \frac{0^{2}}{2}) + 0.0002 ((\frac{3500^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 8.2.4.5.2.4

Разделим $6125000$ на $1$ .

$525000 - 0.04 (6125000 - \frac{0^{2}}{2}) + 0.0002 ((\frac{3500^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 8.2.4.6

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$525000 - 0.04 (6125000 - \frac{0}{2}) + 0.0002 ((\frac{3500^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 8.2.4.7

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.7.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$525000 - 0.04 (6125000 - \frac{2 (0)}{2}) + 0.0002 ((\frac{3500^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 8.2.4.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.7.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$525000 - 0.04 (6125000 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 0.0002 ((\frac{3500^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 8.2.4.7.2.2

Сократим общий множитель.

$525000 - 0.04 (6125000 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 0.0002 ((\frac{3500^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 8.2.4.7.2.3

Перепишем это выражение.

$525000 - 0.04 (6125000 - \frac{0}{1}) + 0.0002 ((\frac{3500^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 8.2.4.7.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$525000 - 0.04 (6125000 - 0) + 0.0002 ((\frac{3500^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 8.2.4.8

Умножим $- 1$ на $0$ .

$525000 - 0.04 (6125000 + 0) + 0.0002 ((\frac{3500^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 8.2.4.9

Добавим $6125000$ и $0$ .

$525000 - 0.04 \cdot 6125000 + 0.0002 ((\frac{3500^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 8.2.4.10

Умножим $- 0.04$ на $6125000$ .

$525000 - 245000 + 0.0002 ((\frac{3500^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 8.2.4.11

Вычтем $245000$ из $525000$ .

$280000 + 0.0002 ((\frac{3500^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 8.2.4.12

Возведем $3500$ в степень $3$ .

$280000 + 0.0002 (\frac{42875000000}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 8.2.4.13

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$280000 + 0.0002 (\frac{42875000000}{3} - \frac{0}{3})$

Этап 8.2.4.14

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.14.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$280000 + 0.0002 (\frac{42875000000}{3} - \frac{3 (0)}{3})$

Этап 8.2.4.14.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.14.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$280000 + 0.0002 (\frac{42875000000}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Этап 8.2.4.14.2.2

Сократим общий множитель.

$280000 + 0.0002 (\frac{42875000000}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Этап 8.2.4.14.2.3

Перепишем это выражение.

$280000 + 0.0002 (\frac{42875000000}{3} - \frac{0}{1})$

Этап 8.2.4.14.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$280000 + 0.0002 (\frac{42875000000}{3} - 0)$

Этап 8.2.4.15

Умножим $- 1$ на $0$ .

$280000 + 0.0002 (\frac{42875000000}{3} + 0)$

Этап 8.2.4.16

Добавим $\frac{42875000000}{3}$ и $0$ .

$280000 + 0.0002 (\frac{42875000000}{3})$

Этап 8.2.4.17

Объединим $0.0002$ и $\frac{42875000000}{3}$ .

$280000 + \frac{0.0002 \cdot 42875000000}{3}$

Этап 8.2.4.18

Умножим $0.0002$ на $42875000000$ .

$280000 + \frac{8575000}{3}$

Этап 8.2.4.19

Сократим общий множитель $8575000$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.19.1

Перепишем $8575000$ в виде $1 (8575000)$ .

$280000 + \frac{1 (8575000)}{3}$

Этап 8.2.4.19.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.19.2.1

Перепишем $3$ в виде $1 (3)$ .

$280000 + \frac{1 \cdot 8575000}{1 \cdot 3}$

Этап 8.2.4.19.2.2

Сократим общий множитель.

$280000 + \frac{1 \cdot 8575000}{1 \cdot 3}$

Этап 8.2.4.19.2.3

Перепишем это выражение.

$280000 + \frac{8575000}{3}$

Этап 8.2.4.20

Чтобы записать $280000$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$280000 \cdot \frac{3}{3} + \frac{8575000}{3}$

Этап 8.2.4.21

Объединим $280000$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{280000 \cdot 3}{3} + \frac{8575000}{3}$

Этап 8.2.4.22

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{280000 \cdot 3 + 8575000}{3}$

Этап 8.2.4.23

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.23.1

Умножим $280000$ на $3$ .

$\frac{840000 + 8575000}{3}$

Этап 8.2.4.23.2

Добавим $840000$ и $8575000$ .

$\frac{9415000}{3}$

Этап 8.2.4.24

Сократим общий множитель $9415000$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.24.1

Перепишем $9415000$ в виде $1 (9415000)$ .

$\frac{1 (9415000)}{3}$

Этап 8.2.4.24.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.24.2.1

Перепишем $3$ в виде $1 (3)$ .

$\frac{1 \cdot 9415000}{1 \cdot 3}$

Этап 8.2.4.24.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1 \cdot 9415000}{1 \cdot 3}$

Этап 8.2.4.24.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{9415000}{3}$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{9415000}{3}$

Десятичная форма:

$3138333.\overline{3}$

Форма смешанных чисел:

$3138333 \frac{1}{3}$

Этап 10