Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{3} t - 5^{t} d t$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{3} t d t + \int_{0}^{3} - 5^{t} d t$

Этап 2

По правилу степени интеграл $t$ по $t$ имеет вид $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$\frac{1}{2} t^{2}]_{0}^{3} + \int_{0}^{3} - 5^{t} d t$

Этап 3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} t^{2}]_{0}^{3} - \int_{0}^{3} 5^{t} d t$

Этап 4

Интеграл $5^{t}$ по $t$ имеет вид $\frac{5^{t}}{\ln (5)}$ .

$\frac{1}{2} t^{2}]_{0}^{3} - (\frac{5^{t}}{\ln (5)}]_{0}^{3})$

Этап 5

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем значение $\frac{1}{2} t^{2}$ в $3$ и в $0$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 3^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - (\frac{5^{t}}{\ln (5)}]_{0}^{3})$

Этап 5.2

Найдем значение $\frac{5^{t}}{\ln (5)}$ в $3$ и в $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - (\frac{5^{3}}{\ln (5)} - \frac{5^{0}}{\ln (5)})$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 9 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - (\frac{5^{3}}{\ln (5)} - \frac{5^{0}}{\ln (5)})$

Этап 5.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $9$ .

$\frac{9}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - (\frac{5^{3}}{\ln (5)} - \frac{5^{0}}{\ln (5)})$

Этап 5.3.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{9}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0 - (\frac{5^{3}}{\ln (5)} - \frac{5^{0}}{\ln (5)})$

Этап 5.3.4

Умножим $0$ на $- 1$ .

$\frac{9}{2} + 0 (\frac{1}{2}) - (\frac{5^{3}}{\ln (5)} - \frac{5^{0}}{\ln (5)})$

Этап 5.3.5

Умножим $0$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{9}{2} + 0 - (\frac{5^{3}}{\ln (5)} - \frac{5^{0}}{\ln (5)})$

Этап 5.3.6

Добавим $\frac{9}{2}$ и $0$ .

$\frac{9}{2} - (\frac{5^{3}}{\ln (5)} - \frac{5^{0}}{\ln (5)})$

Этап 5.3.7

Возведем $5$ в степень $3$ .

$\frac{9}{2} - (\frac{125}{\ln (5)} - \frac{5^{0}}{\ln (5)})$

Этап 5.3.8

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{9}{2} - (\frac{125}{\ln (5)} - \frac{1}{\ln (5)})$

Этап 5.3.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{9}{2} - \frac{125 - 1}{\ln (5)}$

Этап 5.3.10

Вычтем $1$ из $125$ .

$\frac{9}{2} - \frac{124}{\ln (5)}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{9}{2} - \frac{124}{\ln (5)}$

Десятичная форма:

$- 72.54553188 \dots$

Этап 7