Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{3} m^{2} {(4 m^{3} + 2)}^{3} d m$

Этап 1

Пусть $u = 4 m^{3} + 2$ . Тогда $d u = 12 m^{2} d m$ , следовательно $\frac{1}{12} d u = m^{2} d m$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = 4 m^{3} + 2$ . Найдем $\frac{d u}{d m}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $4 m^{3} + 2$ .

$\frac{d}{d m} [4 m^{3} + 2]$

Этап 1.1.2

По правилу суммы производная $4 m^{3} + 2$ по $m$ имеет вид $\frac{d}{d m} [4 m^{3}] + \frac{d}{d m} [2]$ .

$\frac{d}{d m} [4 m^{3}] + \frac{d}{d m} [2]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d m} [4 m^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $m$ , производная $4 m^{3}$ по $m$ равна $4 \frac{d}{d m} [m^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d m} [m^{3}] + \frac{d}{d m} [2]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d m} [m^{n}]$ имеет вид $n m^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$4 (3 m^{2}) + \frac{d}{d m} [2]$

Этап 1.1.3.3

Умножим $3$ на $4$ .

$12 m^{2} + \frac{d}{d m} [2]$

Этап 1.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Поскольку $2$ является константой относительно $m$ , производная $2$ относительно $m$ равна $0$ .

$12 m^{2} + 0$

Этап 1.1.4.2

Добавим $12 m^{2}$ и $0$ .

$12 m^{2}$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $m$ в $u = 4 m^{3} + 2$ .

$u_{lower} = 4 \cdot 0^{3} + 2$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$u_{lower} = 4 \cdot 0 + 2$

Этап 1.3.1.2

Умножим $4$ на $0$ .

$u_{lower} = 0 + 2$

Этап 1.3.2

Добавим $0$ и $2$ .

$u_{lower} = 2$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $m$ в $u = 4 m^{3} + 2$ .

$u_{upper} = 4 \cdot 3^{3} + 2$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Возведем $3$ в степень $3$ .

$u_{upper} = 4 \cdot 27 + 2$

Этап 1.5.1.2

Умножим $4$ на $27$ .

$u_{upper} = 108 + 2$

Этап 1.5.2

Добавим $108$ и $2$ .

$u_{upper} = 110$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 110$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{2}^{110} u^{3} \frac{1}{12} d u$

Этап 2

Объединим $u^{3}$ и $\frac{1}{12}$ .

$\int_{2}^{110} \frac{u^{3}}{12} d u$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{12}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{12}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{12} \int_{2}^{110} u^{3} d u$

Этап 4

По правилу степени интеграл $u^{3}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{12} \frac{1}{4} u^{4}]_{2}^{110}$

Этап 5

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем значение $\frac{1}{4} u^{4}$ в $110$ и в $2$ .

$\frac{1}{12} ((\frac{1}{4} \cdot 110^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 2^{4})$

Этап 5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Возведем $110$ в степень $4$ .

$\frac{1}{12} (\frac{1}{4} \cdot 146410000 - \frac{1}{4} \cdot 2^{4})$

Этап 5.2.2

Объединим $\frac{1}{4}$ и $146410000$ .

$\frac{1}{12} (\frac{146410000}{4} - \frac{1}{4} \cdot 2^{4})$

Этап 5.2.3

Сократим общий множитель $146410000$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Вынесем множитель $4$ из $146410000$ .

$\frac{1}{12} (\frac{4 \cdot 36602500}{4} - \frac{1}{4} \cdot 2^{4})$

Этап 5.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$\frac{1}{12} (\frac{4 \cdot 36602500}{4 (1)} - \frac{1}{4} \cdot 2^{4})$

Этап 5.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{12} (\frac{4 \cdot 36602500}{4 \cdot 1} - \frac{1}{4} \cdot 2^{4})$

Этап 5.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{12} (\frac{36602500}{1} - \frac{1}{4} \cdot 2^{4})$

Этап 5.2.3.2.4

Разделим $36602500$ на $1$ .

$\frac{1}{12} (36602500 - \frac{1}{4} \cdot 2^{4})$

Этап 5.2.4

Возведем $2$ в степень $4$ .

$\frac{1}{12} (36602500 - \frac{1}{4} \cdot 16)$

Этап 5.2.5

Умножим $16$ на $- 1$ .

$\frac{1}{12} (36602500 - 16 (\frac{1}{4}))$

Этап 5.2.6

Объединим $- 16$ и $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{12} (36602500 + \frac{- 16}{4})$

Этап 5.2.7

Сократим общий множитель $- 16$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.7.1

Вынесем множитель $4$ из $- 16$ .

$\frac{1}{12} (36602500 + \frac{4 \cdot - 4}{4})$

Этап 5.2.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.7.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$\frac{1}{12} (36602500 + \frac{4 \cdot - 4}{4 (1)})$

Этап 5.2.7.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{12} (36602500 + \frac{4 \cdot - 4}{4 \cdot 1})$

Этап 5.2.7.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{12} (36602500 + \frac{- 4}{1})$

Этап 5.2.7.2.4

Разделим $- 4$ на $1$ .

$\frac{1}{12} (36602500 - 4)$

Этап 5.2.8

Вычтем $4$ из $36602500$ .

$\frac{1}{12} \cdot 36602496$

Этап 5.2.9

Объединим $\frac{1}{12}$ и $36602496$ .

$\frac{36602496}{12}$

Этап 5.2.10

Сократим общий множитель $36602496$ и $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.10.1

Вынесем множитель $12$ из $36602496$ .

$\frac{12 \cdot 3050208}{12}$

Этап 5.2.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.10.2.1

Вынесем множитель $12$ из $12$ .

$\frac{12 \cdot 3050208}{12 (1)}$

Этап 5.2.10.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{12 \cdot 3050208}{12 \cdot 1}$

Этап 5.2.10.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3050208}{1}$

Этап 5.2.10.2.4

Разделим $3050208$ на $1$ .

$3050208$

Этап 6