Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{3} \frac{2}{x - 3^{3}} d x$

Этап 1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возведем $3$ в степень $3$ .

$\int_{0}^{3} \frac{2}{x - 1 \cdot 27} d x$

Этап 1.2

Умножим $- 1$ на $27$ .

$\int_{0}^{3} \frac{2}{x - 27} d x$

Этап 2

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int_{0}^{3} \frac{1}{x - 27} d x$

Этап 3

Пусть $u = x - 27$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть $u = x - 27$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Дифференцируем $x - 27$ .

$\frac{d}{d x} [x - 27]$

Этап 3.1.2

По правилу суммы производная $x - 27$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 27]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 27]$

Этап 3.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 27]$

Этап 3.1.4

Поскольку $- 27$ является константой относительно $x$ , производная $- 27$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 3.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 3.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = x - 27$ .

$u_{lower} = 0 - 27$

Этап 3.3

Вычтем $27$ из $0$ .

$u_{lower} = - 27$

Этап 3.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = x - 27$ .

$u_{upper} = 3 - 27$

Этап 3.5

Вычтем $27$ из $3$ .

$u_{upper} = - 24$

Этап 3.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = - 27$

$u_{upper} = - 24$

Этап 3.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$2 \int_{- 27}^{- 24} \frac{1}{u} d u$

Этап 4

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$2 (\ln (| u |)]_{- 27}^{- 24})$

Этап 5

Найдем значение $\ln (| u |)$ в $- 24$ и в $- 27$ .

$2 (\ln (| - 24 |) - \ln (| - 27 |))$

Этап 6

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$2 \ln (\frac{| - 24 |}{| - 27 |})$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $- 24$ и $0$ равно $24$ .

$2 \ln (\frac{24}{| - 27 |})$

Этап 7.2

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $- 27$ и $0$ равно $27$ .

$2 \ln (\frac{24}{27})$

Этап 7.3

Сократим общий множитель $24$ и $27$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Вынесем множитель $3$ из $24$ .

$2 \ln (\frac{3 (8)}{27})$

Этап 7.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $27$ .

$2 \ln (\frac{3 \cdot 8}{3 \cdot 9})$

Этап 7.3.2.2

Сократим общий множитель.

$2 \ln (\frac{3 \cdot 8}{3 \cdot 9})$

Этап 7.3.2.3

Перепишем это выражение.

$2 \ln (\frac{8}{9})$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$2 \ln (\frac{8}{9})$

Десятичная форма:

$- 0.23556607 \dots$

Этап 9