Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{3} x^{3} - 4 x d x$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{3} x^{3} d x + \int_{0}^{3} - 4 x d x$

Этап 2

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{3} + \int_{0}^{3} - 4 x d x$

Этап 3

Поскольку $- 4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 4$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{3} - 4 \int_{0}^{3} x d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{3} - 4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{3})$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{3} - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3})$

Этап 5.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Найдем значение $\frac{1}{4} x^{4}$ в $3$ и в $0$ .

$(\frac{1}{4} \cdot 3^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3})$

Этап 5.2.2

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $3$ и в $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot 3^{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} - 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 5.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Возведем $3$ в степень $4$ .

$\frac{1}{4} \cdot 81 - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} - 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 5.2.3.2

Объединим $\frac{1}{4}$ и $81$ .

$\frac{81}{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} - 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 5.2.3.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{81}{4} - \frac{1}{4} \cdot 0 - 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 5.2.3.4

Умножим $0$ на $- 1$ .

$\frac{81}{4} + 0 (\frac{1}{4}) - 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 5.2.3.5

Умножим $0$ на $\frac{1}{4}$ .

$\frac{81}{4} + 0 - 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 5.2.3.6

Добавим $\frac{81}{4}$ и $0$ .

$\frac{81}{4} - 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 5.2.3.7

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{81}{4} - 4 (\frac{9}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 5.2.3.8

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{81}{4} - 4 (\frac{9}{2} - \frac{0}{2})$

Этап 5.2.3.9

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.9.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$\frac{81}{4} - 4 (\frac{9}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

Этап 5.2.3.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.9.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{81}{4} - 4 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Этап 5.2.3.9.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{81}{4} - 4 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Этап 5.2.3.9.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{81}{4} - 4 (\frac{9}{2} - \frac{0}{1})$

Этап 5.2.3.9.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$\frac{81}{4} - 4 (\frac{9}{2} - 0)$

Этап 5.2.3.10

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{81}{4} - 4 (\frac{9}{2} + 0)$

Этап 5.2.3.11

Добавим $\frac{9}{2}$ и $0$ .

$\frac{81}{4} - 4 (\frac{9}{2})$

Этап 5.2.3.12

Объединим $- 4$ и $\frac{9}{2}$ .

$\frac{81}{4} + \frac{- 4 \cdot 9}{2}$

Этап 5.2.3.13

Умножим $- 4$ на $9$ .

$\frac{81}{4} + \frac{- 36}{2}$

Этап 5.2.3.14

Сократим общий множитель $- 36$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.14.1

Вынесем множитель $2$ из $- 36$ .

$\frac{81}{4} + \frac{2 \cdot - 18}{2}$

Этап 5.2.3.14.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.14.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{81}{4} + \frac{2 \cdot - 18}{2 (1)}$

Этап 5.2.3.14.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{81}{4} + \frac{2 \cdot - 18}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2.3.14.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{81}{4} + \frac{- 18}{1}$

Этап 5.2.3.14.2.4

Разделим $- 18$ на $1$ .

$\frac{81}{4} - 18$

Этап 5.2.3.15

Чтобы записать $- 18$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{81}{4} - 18 \cdot \frac{4}{4}$

Этап 5.2.3.16

Объединим $- 18$ и $\frac{4}{4}$ .

$\frac{81}{4} + \frac{- 18 \cdot 4}{4}$

Этап 5.2.3.17

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{81 - 18 \cdot 4}{4}$

Этап 5.2.3.18

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.18.1

Умножим $- 18$ на $4$ .

$\frac{81 - 72}{4}$

Этап 5.2.3.18.2

Вычтем $72$ из $81$ .

$\frac{9}{4}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{9}{4}$

Десятичная форма:

$2.25$

Форма смешанных чисел:

$2 \frac{1}{4}$

Этап 7