Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{3} 1 + 6 w^{2} - 10 w^{4} d w$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{3} d w + \int_{0}^{3} 6 w^{2} d w + \int_{0}^{3} - 10 w^{4} d w$

Этап 2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$w]_{0}^{3} + \int_{0}^{3} 6 w^{2} d w + \int_{0}^{3} - 10 w^{4} d w$

Этап 3

Поскольку $6$ — константа по отношению к $w$ , вынесем $6$ из-под знака интеграла.

$w]_{0}^{3} + 6 \int_{0}^{3} w^{2} d w + \int_{0}^{3} - 10 w^{4} d w$

Этап 4

По правилу степени интеграл $w^{2}$ по $w$ имеет вид $\frac{1}{3} w^{3}$ .

$w]_{0}^{3} + 6 (\frac{1}{3} w^{3}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} - 10 w^{4} d w$

Этап 5

Объединим $\frac{1}{3}$ и $w^{3}$ .

$w]_{0}^{3} + 6 (\frac{w^{3}}{3}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} - 10 w^{4} d w$

Этап 6

Поскольку $- 10$ — константа по отношению к $w$ , вынесем $- 10$ из-под знака интеграла.

$w]_{0}^{3} + 6 (\frac{w^{3}}{3}]_{0}^{3}) - 10 \int_{0}^{3} w^{4} d w$

Этап 7

По правилу степени интеграл $w^{4}$ по $w$ имеет вид $\frac{1}{5} w^{5}$ .

$w]_{0}^{3} + 6 (\frac{w^{3}}{3}]_{0}^{3}) - 10 (\frac{1}{5} w^{5}]_{0}^{3})$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $\frac{1}{5}$ и $w^{5}$ .

$w]_{0}^{3} + 6 (\frac{w^{3}}{3}]_{0}^{3}) - 10 (\frac{w^{5}}{5}]_{0}^{3})$

Этап 8.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Найдем значение $w$ в $3$ и в $0$ .

$(3) + 0 + 6 (\frac{w^{3}}{3}]_{0}^{3}) - 10 (\frac{w^{5}}{5}]_{0}^{3})$

Этап 8.2.2

Найдем значение $\frac{w^{3}}{3}$ в $3$ и в $0$ .

$3 + 0 + 6 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 10 (\frac{w^{5}}{5}]_{0}^{3})$

Этап 8.2.3

Найдем значение $\frac{w^{5}}{5}$ в $3$ и в $0$ .

$3 + 0 + 6 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 10 (\frac{3^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5})$

Этап 8.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.1

Добавим $3$ и $0$ .

$3 + 6 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 10 (\frac{3^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5})$

Этап 8.2.4.2

Возведем $3$ в степень $3$ .

$3 + 6 (\frac{27}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 10 (\frac{3^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5})$

Этап 8.2.4.3

Сократим общий множитель $27$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.3.1

Вынесем множитель $3$ из $27$ .

$3 + 6 (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 10 (\frac{3^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5})$

Этап 8.2.4.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$3 + 6 (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{0^{3}}{3}) - 10 (\frac{3^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5})$

Этап 8.2.4.3.2.2

Сократим общий множитель.

$3 + 6 (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{0^{3}}{3}) - 10 (\frac{3^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5})$

Этап 8.2.4.3.2.3

Перепишем это выражение.

$3 + 6 (\frac{9}{1} - \frac{0^{3}}{3}) - 10 (\frac{3^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5})$

Этап 8.2.4.3.2.4

Разделим $9$ на $1$ .

$3 + 6 (9 - \frac{0^{3}}{3}) - 10 (\frac{3^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5})$

Этап 8.2.4.4

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$3 + 6 (9 - \frac{0}{3}) - 10 (\frac{3^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5})$

Этап 8.2.4.5

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.5.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$3 + 6 (9 - \frac{3 (0)}{3}) - 10 (\frac{3^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5})$

Этап 8.2.4.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.5.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$3 + 6 (9 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - 10 (\frac{3^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5})$

Этап 8.2.4.5.2.2

Сократим общий множитель.

$3 + 6 (9 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - 10 (\frac{3^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5})$

Этап 8.2.4.5.2.3

Перепишем это выражение.

$3 + 6 (9 - \frac{0}{1}) - 10 (\frac{3^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5})$

Этап 8.2.4.5.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$3 + 6 (9 - 0) - 10 (\frac{3^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5})$

Этап 8.2.4.6

Умножим $- 1$ на $0$ .

$3 + 6 (9 + 0) - 10 (\frac{3^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5})$

Этап 8.2.4.7

Добавим $9$ и $0$ .

$3 + 6 \cdot 9 - 10 (\frac{3^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5})$

Этап 8.2.4.8

Умножим $6$ на $9$ .

$3 + 54 - 10 (\frac{3^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5})$

Этап 8.2.4.9

Добавим $3$ и $54$ .

$57 - 10 (\frac{3^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5})$

Этап 8.2.4.10

Возведем $3$ в степень $5$ .

$57 - 10 (\frac{243}{5} - \frac{0^{5}}{5})$

Этап 8.2.4.11

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$57 - 10 (\frac{243}{5} - \frac{0}{5})$

Этап 8.2.4.12

Сократим общий множитель $0$ и $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.12.1

Вынесем множитель $5$ из $0$ .

$57 - 10 (\frac{243}{5} - \frac{5 (0)}{5})$

Этап 8.2.4.12.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.12.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$57 - 10 (\frac{243}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1})$

Этап 8.2.4.12.2.2

Сократим общий множитель.

$57 - 10 (\frac{243}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1})$

Этап 8.2.4.12.2.3

Перепишем это выражение.

$57 - 10 (\frac{243}{5} - \frac{0}{1})$

Этап 8.2.4.12.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$57 - 10 (\frac{243}{5} - 0)$

Этап 8.2.4.13

Умножим $- 1$ на $0$ .

$57 - 10 (\frac{243}{5} + 0)$

Этап 8.2.4.14

Добавим $\frac{243}{5}$ и $0$ .

$57 - 10 (\frac{243}{5})$

Этап 8.2.4.15

Объединим $- 10$ и $\frac{243}{5}$ .

$57 + \frac{- 10 \cdot 243}{5}$

Этап 8.2.4.16

Умножим $- 10$ на $243$ .

$57 + \frac{- 2430}{5}$

Этап 8.2.4.17

Сократим общий множитель $- 2430$ и $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.17.1

Вынесем множитель $5$ из $- 2430$ .

$57 + \frac{5 \cdot - 486}{5}$

Этап 8.2.4.17.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.17.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$57 + \frac{5 \cdot - 486}{5 (1)}$

Этап 8.2.4.17.2.2

Сократим общий множитель.

$57 + \frac{5 \cdot - 486}{5 \cdot 1}$

Этап 8.2.4.17.2.3

Перепишем это выражение.

$57 + \frac{- 486}{1}$

Этап 8.2.4.17.2.4

Разделим $- 486$ на $1$ .

$57 - 486$

Этап 8.2.4.18

Вычтем $486$ из $57$ .

$- 429$

Этап 9