Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{4} 7 x^{2} - 4 x + 3 d x$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{4} 7 x^{2} d x + \int_{0}^{4} - 4 x d x + \int_{0}^{4} 3 d x$

Этап 2

Поскольку $7$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $7$ из-под знака интеграла.

$7 \int_{0}^{4} x^{2} d x + \int_{0}^{4} - 4 x d x + \int_{0}^{4} 3 d x$

Этап 3

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$7 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} - 4 x d x + \int_{0}^{4} 3 d x$

Этап 4

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$7 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} - 4 x d x + \int_{0}^{4} 3 d x$

Этап 5

Поскольку $- 4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 4$ из-под знака интеграла.

$7 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{4}) - 4 \int_{0}^{4} x d x + \int_{0}^{4} 3 d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$7 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{4}) - 4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} 3 d x$

Этап 7

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$7 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{4}) - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} 3 d x$

Этап 8

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$7 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{4}) - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{4}) + 3 x]_{0}^{4}$

Этап 9

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $4$ и в $0$ .

$7 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{4}) + 3 x]_{0}^{4}$

Этап 9.2

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $4$ и в $0$ .

$7 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 x]_{0}^{4}$

Этап 9.3

Найдем значение $3 x$ в $4$ и в $0$ .

$7 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Этап 9.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Возведем $4$ в степень $3$ .

$7 (\frac{64}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Этап 9.4.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$7 (\frac{64}{3} - \frac{0}{3}) - 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Этап 9.4.3

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.3.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$7 (\frac{64}{3} - \frac{3 (0)}{3}) - 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Этап 9.4.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$7 (\frac{64}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Этап 9.4.3.2.2

Сократим общий множитель.

$7 (\frac{64}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Этап 9.4.3.2.3

Перепишем это выражение.

$7 (\frac{64}{3} - \frac{0}{1}) - 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Этап 9.4.3.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$7 (\frac{64}{3} - 0) - 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Этап 9.4.4

Умножим $- 1$ на $0$ .

$7 (\frac{64}{3} + 0) - 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Этап 9.4.5

Добавим $\frac{64}{3}$ и $0$ .

$7 (\frac{64}{3}) - 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Этап 9.4.6

Объединим $7$ и $\frac{64}{3}$ .

$\frac{7 \cdot 64}{3} - 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Этап 9.4.7

Умножим $7$ на $64$ .

$\frac{448}{3} - 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Этап 9.4.8

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\frac{448}{3} - 4 (\frac{16}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Этап 9.4.9

Сократим общий множитель $16$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.9.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$\frac{448}{3} - 4 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Этап 9.4.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.9.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{448}{3} - 4 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Этап 9.4.9.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{448}{3} - 4 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Этап 9.4.9.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{448}{3} - 4 (\frac{8}{1} - \frac{0^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Этап 9.4.9.2.4

Разделим $8$ на $1$ .

$\frac{448}{3} - 4 (8 - \frac{0^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Этап 9.4.10

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{448}{3} - 4 (8 - \frac{0}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Этап 9.4.11

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.11.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$\frac{448}{3} - 4 (8 - \frac{2 (0)}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Этап 9.4.11.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.11.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{448}{3} - 4 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Этап 9.4.11.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{448}{3} - 4 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Этап 9.4.11.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{448}{3} - 4 (8 - \frac{0}{1}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Этап 9.4.11.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$\frac{448}{3} - 4 (8 - 0) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Этап 9.4.12

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{448}{3} - 4 (8 + 0) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Этап 9.4.13

Добавим $8$ и $0$ .

$\frac{448}{3} - 4 \cdot 8 + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Этап 9.4.14

Умножим $- 4$ на $8$ .

$\frac{448}{3} - 32 + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Этап 9.4.15

Чтобы записать $- 32$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{448}{3} - 32 \cdot \frac{3}{3} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Этап 9.4.16

Объединим $- 32$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{448}{3} + \frac{- 32 \cdot 3}{3} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Этап 9.4.17

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{448 - 32 \cdot 3}{3} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Этап 9.4.18

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.18.1

Умножим $- 32$ на $3$ .

$\frac{448 - 96}{3} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Этап 9.4.18.2

Вычтем $96$ из $448$ .

$\frac{352}{3} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Этап 9.4.19

Умножим $3$ на $4$ .

$\frac{352}{3} + 12 - 3 \cdot 0$

Этап 9.4.20

Умножим $- 3$ на $0$ .

$\frac{352}{3} + 12 + 0$

Этап 9.4.21

Добавим $12$ и $0$ .

$\frac{352}{3} + 12$

Этап 9.4.22

Чтобы записать $12$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{352}{3} + 12 \cdot \frac{3}{3}$

Этап 9.4.23

Объединим $12$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{352}{3} + \frac{12 \cdot 3}{3}$

Этап 9.4.24

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{352 + 12 \cdot 3}{3}$

Этап 9.4.25

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.25.1

Умножим $12$ на $3$ .

$\frac{352 + 36}{3}$

Этап 9.4.25.2

Добавим $352$ и $36$ .

$\frac{388}{3}$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{388}{3}$

Десятичная форма:

$129.\overline{3}$

Форма смешанных чисел:

$129 \frac{1}{3}$

Этап 11