Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{4} 4 x - 3 \sqrt{x} d x$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{4} 4 x d x + \int_{0}^{4} - 3 \sqrt{x} d x$

Этап 2

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$4 \int_{0}^{4} x d x + \int_{0}^{4} - 3 \sqrt{x} d x$

Этап 3

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} - 3 \sqrt{x} d x$

Этап 4

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} - 3 \sqrt{x} d x$

Этап 5

Поскольку $- 3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 3$ из-под знака интеграла.

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{4}) - 3 \int_{0}^{4} \sqrt{x} d x$

Этап 6

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{4}) - 3 \int_{0}^{4} x^{\frac{1}{2}} d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{4}) - 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{4})$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $\frac{2}{3}$ и $x^{\frac{3}{2}}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{4}) - 3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{4})$

Этап 8.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $4$ и в $0$ .

$4 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) - 3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{4})$

Этап 8.2.2

Найдем значение $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ в $4$ и в $0$ .

$4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 8.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$4 (\frac{16}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 8.2.3.2

Сократим общий множитель $16$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$4 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 8.2.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$4 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 8.2.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$4 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 8.2.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$4 (\frac{8}{1} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 8.2.3.2.2.4

Разделим $8$ на $1$ .

$4 (8 - \frac{0^{2}}{2}) - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 8.2.3.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$4 (8 - \frac{0}{2}) - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 8.2.3.4

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.4.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$4 (8 - \frac{2 (0)}{2}) - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 8.2.3.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$4 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 8.2.3.4.2.2

Сократим общий множитель.

$4 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 8.2.3.4.2.3

Перепишем это выражение.

$4 (8 - \frac{0}{1}) - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 8.2.3.4.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$4 (8 - 0) - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 8.2.3.5

Умножим $- 1$ на $0$ .

$4 (8 + 0) - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 8.2.3.6

Добавим $8$ и $0$ .

$4 \cdot 8 - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 8.2.3.7

Умножим $4$ на $8$ .

$32 - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 8.2.3.8

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$32 - 3 (\frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 8.2.3.9

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$32 - 3 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 8.2.3.10

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.10.1

Сократим общий множитель.

$32 - 3 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 8.2.3.10.2

Перепишем это выражение.

$32 - 3 (\frac{2 \cdot 2^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 8.2.3.11

Возведем $2$ в степень $3$ .

$32 - 3 (\frac{2 \cdot 8}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 8.2.3.12

Умножим $2$ на $8$ .

$32 - 3 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 8.2.3.13

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$32 - 3 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 8.2.3.14

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$32 - 3 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3})$

Этап 8.2.3.15

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.15.1

Сократим общий множитель.

$32 - 3 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3})$

Этап 8.2.3.15.2

Перепишем это выражение.

$32 - 3 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 0^{3}}{3})$

Этап 8.2.3.16

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$32 - 3 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 0}{3})$

Этап 8.2.3.17

Умножим $2$ на $0$ .

$32 - 3 (\frac{16}{3} - \frac{0}{3})$

Этап 8.2.3.18

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.18.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$32 - 3 (\frac{16}{3} - \frac{3 (0)}{3})$

Этап 8.2.3.18.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.18.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$32 - 3 (\frac{16}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Этап 8.2.3.18.2.2

Сократим общий множитель.

$32 - 3 (\frac{16}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Этап 8.2.3.18.2.3

Перепишем это выражение.

$32 - 3 (\frac{16}{3} - \frac{0}{1})$

Этап 8.2.3.18.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$32 - 3 (\frac{16}{3} - 0)$

Этап 8.2.3.19

Умножим $- 1$ на $0$ .

$32 - 3 (\frac{16}{3} + 0)$

Этап 8.2.3.20

Добавим $\frac{16}{3}$ и $0$ .

$32 - 3 (\frac{16}{3})$

Этап 8.2.3.21

Объединим $- 3$ и $\frac{16}{3}$ .

$32 + \frac{- 3 \cdot 16}{3}$

Этап 8.2.3.22

Умножим $- 3$ на $16$ .

$32 + \frac{- 48}{3}$

Этап 8.2.3.23

Сократим общий множитель $- 48$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.23.1

Вынесем множитель $3$ из $- 48$ .

$32 + \frac{3 \cdot - 16}{3}$

Этап 8.2.3.23.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.23.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$32 + \frac{3 \cdot - 16}{3 (1)}$

Этап 8.2.3.23.2.2

Сократим общий множитель.

$32 + \frac{3 \cdot - 16}{3 \cdot 1}$

Этап 8.2.3.23.2.3

Перепишем это выражение.

$32 + \frac{- 16}{1}$

Этап 8.2.3.23.2.4

Разделим $- 16$ на $1$ .

$32 - 16$

Этап 8.2.3.24

Вычтем $16$ из $32$ .

$16$

Этап 9