Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{4} x^{2} - 4 x d x$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{4} x^{2} d x + \int_{0}^{4} - 4 x d x$

Этап 2

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{4} + \int_{0}^{4} - 4 x d x$

Этап 3

Поскольку $- 4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 4$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{4} - 4 \int_{0}^{4} x d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{4} - 4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{4})$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{4} - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{4})$

Этап 5.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Найдем значение $\frac{1}{3} x^{3}$ в $4$ и в $0$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 0^{3} - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{4})$

Этап 5.2.2

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $4$ и в $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3} - 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 5.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Возведем $4$ в степень $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 64 - \frac{1}{3} \cdot 0^{3} - 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 5.2.3.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $64$ .

$\frac{64}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3} - 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 5.2.3.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{64}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0 - 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 5.2.3.4

Умножим $0$ на $- 1$ .

$\frac{64}{3} + 0 (\frac{1}{3}) - 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 5.2.3.5

Умножим $0$ на $\frac{1}{3}$ .

$\frac{64}{3} + 0 - 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 5.2.3.6

Добавим $\frac{64}{3}$ и $0$ .

$\frac{64}{3} - 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 5.2.3.7

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\frac{64}{3} - 4 (\frac{16}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 5.2.3.8

Сократим общий множитель $16$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.8.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$\frac{64}{3} - 4 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 5.2.3.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.8.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{64}{3} - 4 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 5.2.3.8.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{64}{3} - 4 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 5.2.3.8.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{64}{3} - 4 (\frac{8}{1} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 5.2.3.8.2.4

Разделим $8$ на $1$ .

$\frac{64}{3} - 4 (8 - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 5.2.3.9

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{64}{3} - 4 (8 - \frac{0}{2})$

Этап 5.2.3.10

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.10.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$\frac{64}{3} - 4 (8 - \frac{2 (0)}{2})$

Этап 5.2.3.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.10.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{64}{3} - 4 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Этап 5.2.3.10.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{64}{3} - 4 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Этап 5.2.3.10.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{64}{3} - 4 (8 - \frac{0}{1})$

Этап 5.2.3.10.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$\frac{64}{3} - 4 (8 - 0)$

Этап 5.2.3.11

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{64}{3} - 4 (8 + 0)$

Этап 5.2.3.12

Добавим $8$ и $0$ .

$\frac{64}{3} - 4 \cdot 8$

Этап 5.2.3.13

Умножим $- 4$ на $8$ .

$\frac{64}{3} - 32$

Этап 5.2.3.14

Чтобы записать $- 32$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{64}{3} - 32 \cdot \frac{3}{3}$

Этап 5.2.3.15

Объединим $- 32$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{64}{3} + \frac{- 32 \cdot 3}{3}$

Этап 5.2.3.16

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{64 - 32 \cdot 3}{3}$

Этап 5.2.3.17

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.17.1

Умножим $- 32$ на $3$ .

$\frac{64 - 96}{3}$

Этап 5.2.3.17.2

Вычтем $96$ из $64$ .

$\frac{- 32}{3}$

Этап 5.2.3.18

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{32}{3}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{32}{3}$

Десятичная форма:

$- 10.\overline{6}$

Форма смешанных чисел:

$- 10 \frac{2}{3}$

Этап 7