Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{3} 6 + 6 y - y^{2} d y$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{3} 6 d y + \int_{0}^{3} 6 y d y + \int_{0}^{3} - y^{2} d y$

Этап 2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$6 y]_{0}^{3} + \int_{0}^{3} 6 y d y + \int_{0}^{3} - y^{2} d y$

Этап 3

Поскольку $6$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $6$ из-под знака интеграла.

$6 y]_{0}^{3} + 6 \int_{0}^{3} y d y + \int_{0}^{3} - y^{2} d y$

Этап 4

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$6 y]_{0}^{3} + 6 (\frac{1}{2} y^{2}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} - y^{2} d y$

Этап 5

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{2}$ .

$6 y]_{0}^{3} + 6 (\frac{y^{2}}{2}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} - y^{2} d y$

Этап 6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$6 y]_{0}^{3} + 6 (\frac{y^{2}}{2}]_{0}^{3}) - \int_{0}^{3} y^{2} d y$

Этап 7

По правилу степени интеграл $y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$6 y]_{0}^{3} + 6 (\frac{y^{2}}{2}]_{0}^{3}) - (\frac{1}{3} y^{3}]_{0}^{3})$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $y^{3}$ .

$6 y]_{0}^{3} + 6 (\frac{y^{2}}{2}]_{0}^{3}) - (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{3})$

Этап 8.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Найдем значение $6 y$ в $3$ и в $0$ .

$(6 \cdot 3) - 6 \cdot 0 + 6 (\frac{y^{2}}{2}]_{0}^{3}) - (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{3})$

Этап 8.2.2

Найдем значение $\frac{y^{2}}{2}$ в $3$ и в $0$ .

$6 \cdot 3 - 6 \cdot 0 + 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{3})$

Этап 8.2.3

Найдем значение $\frac{y^{3}}{3}$ в $3$ и в $0$ .

$6 \cdot 3 - 6 \cdot 0 + 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 8.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.1

Умножим $6$ на $3$ .

$18 - 6 \cdot 0 + 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 8.2.4.2

Умножим $- 6$ на $0$ .

$18 + 0 + 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 8.2.4.3

Добавим $18$ и $0$ .

$18 + 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 8.2.4.4

Возведем $3$ в степень $2$ .

$18 + 6 (\frac{9}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 8.2.4.5

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$18 + 6 (\frac{9}{2} - \frac{0}{2}) - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 8.2.4.6

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.6.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$18 + 6 (\frac{9}{2} - \frac{2 (0)}{2}) - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 8.2.4.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.6.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$18 + 6 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 8.2.4.6.2.2

Сократим общий множитель.

$18 + 6 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 8.2.4.6.2.3

Перепишем это выражение.

$18 + 6 (\frac{9}{2} - \frac{0}{1}) - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 8.2.4.6.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$18 + 6 (\frac{9}{2} - 0) - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 8.2.4.7

Умножим $- 1$ на $0$ .

$18 + 6 (\frac{9}{2} + 0) - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 8.2.4.8

Добавим $\frac{9}{2}$ и $0$ .

$18 + 6 (\frac{9}{2}) - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 8.2.4.9

Объединим $6$ и $\frac{9}{2}$ .

$18 + \frac{6 \cdot 9}{2} - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 8.2.4.10

Умножим $6$ на $9$ .

$18 + \frac{54}{2} - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 8.2.4.11

Сократим общий множитель $54$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.11.1

Вынесем множитель $2$ из $54$ .

$18 + \frac{2 \cdot 27}{2} - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 8.2.4.11.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.11.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$18 + \frac{2 \cdot 27}{2 (1)} - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 8.2.4.11.2.2

Сократим общий множитель.

$18 + \frac{2 \cdot 27}{2 \cdot 1} - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 8.2.4.11.2.3

Перепишем это выражение.

$18 + \frac{27}{1} - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 8.2.4.11.2.4

Разделим $27$ на $1$ .

$18 + 27 - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 8.2.4.12

Добавим $18$ и $27$ .

$45 - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 8.2.4.13

Возведем $3$ в степень $3$ .

$45 - (\frac{27}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 8.2.4.14

Сократим общий множитель $27$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.14.1

Вынесем множитель $3$ из $27$ .

$45 - (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 8.2.4.14.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.14.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$45 - (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 8.2.4.14.2.2

Сократим общий множитель.

$45 - (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 8.2.4.14.2.3

Перепишем это выражение.

$45 - (\frac{9}{1} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 8.2.4.14.2.4

Разделим $9$ на $1$ .

$45 - (9 - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 8.2.4.15

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$45 - (9 - \frac{0}{3})$

Этап 8.2.4.16

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.16.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$45 - (9 - \frac{3 (0)}{3})$

Этап 8.2.4.16.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.16.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$45 - (9 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Этап 8.2.4.16.2.2

Сократим общий множитель.

$45 - (9 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Этап 8.2.4.16.2.3

Перепишем это выражение.

$45 - (9 - \frac{0}{1})$

Этап 8.2.4.16.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$45 - (9 - 0)$

Этап 8.2.4.17

Умножим $- 1$ на $0$ .

$45 - (9 + 0)$

Этап 8.2.4.18

Добавим $9$ и $0$ .

$45 - 1 \cdot 9$

Этап 8.2.4.19

Умножим $- 1$ на $9$ .

$45 - 9$

Этап 8.2.4.20

Вычтем $9$ из $45$ .

$36$

Этап 9