Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{2 π} 2 - \cos (x) - \cos (x) d x$

Этап 1

Вычтем $\cos (x)$ из $- \cos (x)$ .

$\int_{0}^{2 π} 2 - 2 \cos (x) d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{2 π} 2 d x + \int_{0}^{2 π} - 2 \cos (x) d x$

Этап 3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$2 x]_{0}^{2 π} + \int_{0}^{2 π} - 2 \cos (x) d x$

Этап 4

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$2 x]_{0}^{2 π} - 2 \int_{0}^{2 π} \cos (x) d x$

Этап 5

Интеграл $\cos (x)$ по $x$ имеет вид $\sin (x)$ .

$2 x]_{0}^{2 π} - 2 (\sin (x)]_{0}^{2 π})$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Найдем значение $2 x$ в $2 π$ и в $0$ .

$(2 (2 π)) - 2 \cdot 0 - 2 (\sin (x)]_{0}^{2 π})$

Этап 6.1.2

Найдем значение $\sin (x)$ в $2 π$ и в $0$ .

$2 (2 π) - 2 \cdot 0 - 2 (\sin (2 π) - \sin (0))$

Этап 6.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1

Умножим $2$ на $2$ .

$4 π - 2 \cdot 0 - 2 (\sin (2 π) - \sin (0))$

Этап 6.1.3.2

Умножим $- 2$ на $0$ .

$4 π + 0 - 2 (\sin (2 π) - \sin (0))$

Этап 6.1.3.3

Добавим $4 π$ и $0$ .

$4 π - 2 (\sin (2 π) - \sin (0))$

Этап 6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$4 π - 2 (\sin (2 π) - 0)$

Этап 6.2.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$4 π - 2 (\sin (2 π) + 0)$

Этап 6.2.3

Добавим $\sin (2 π)$ и $0$ .

$4 π - 2 \sin (2 π)$

Этап 6.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$4 π - 2 \sin (0)$

Этап 6.3.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$4 π - 2 \cdot 0$

Этап 6.3.3

Умножим $- 2$ на $0$ .

$4 π + 0$

Этап 6.3.4

Добавим $4 π$ и $0$ .

$4 π$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$4 π$

Десятичная форма:

$12.56637061 \dots$