Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{3} - x^{3} + 3 x^{2} - 2 d x$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{3} - x^{3} d x + \int_{0}^{3} 3 x^{2} d x + \int_{0}^{3} - 2 d x$

Этап 2

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int_{0}^{3} x^{3} d x + \int_{0}^{3} 3 x^{2} d x + \int_{0}^{3} - 2 d x$

Этап 3

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$- (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} 3 x^{2} d x + \int_{0}^{3} - 2 d x$

Этап 4

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{4}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} 3 x^{2} d x + \int_{0}^{3} - 2 d x$

Этап 5

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{3}) + 3 \int_{0}^{3} x^{2} d x + \int_{0}^{3} - 2 d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{3}) + 3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} - 2 d x$

Этап 7

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{3}) + 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} - 2 d x$

Этап 8

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{3}) + 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3}) + - 2 x]_{0}^{3}$

Этап 9

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем значение $\frac{x^{4}}{4}$ в $3$ и в $0$ .

$- ((\frac{3^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}) + 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3}) + - 2 x]_{0}^{3}$

Этап 9.2

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $3$ и в $0$ .

$- (\frac{3^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + - 2 x]_{0}^{3}$

Этап 9.3

Найдем значение $- 2 x$ в $3$ и в $0$ .

$- (\frac{3^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (- 2 \cdot 3) + 2 \cdot 0$

Этап 9.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Возведем $3$ в степень $4$ .

$- (\frac{81}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (- 2 \cdot 3) + 2 \cdot 0$

Этап 9.4.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- (\frac{81}{4} - \frac{0}{4}) + 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (- 2 \cdot 3) + 2 \cdot 0$

Этап 9.4.3

Сократим общий множитель $0$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.3.1

Вынесем множитель $4$ из $0$ .

$- (\frac{81}{4} - \frac{4 (0)}{4}) + 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (- 2 \cdot 3) + 2 \cdot 0$

Этап 9.4.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.3.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$- (\frac{81}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) + 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (- 2 \cdot 3) + 2 \cdot 0$

Этап 9.4.3.2.2

Сократим общий множитель.

$- (\frac{81}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) + 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (- 2 \cdot 3) + 2 \cdot 0$

Этап 9.4.3.2.3

Перепишем это выражение.

$- (\frac{81}{4} - \frac{0}{1}) + 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (- 2 \cdot 3) + 2 \cdot 0$

Этап 9.4.3.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$- (\frac{81}{4} - 0) + 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (- 2 \cdot 3) + 2 \cdot 0$

Этап 9.4.4

Умножим $- 1$ на $0$ .

$- (\frac{81}{4} + 0) + 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (- 2 \cdot 3) + 2 \cdot 0$

Этап 9.4.5

Добавим $\frac{81}{4}$ и $0$ .

$- \frac{81}{4} + 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (- 2 \cdot 3) + 2 \cdot 0$

Этап 9.4.6

Возведем $3$ в степень $3$ .

$- \frac{81}{4} + 3 (\frac{27}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (- 2 \cdot 3) + 2 \cdot 0$

Этап 9.4.7

Сократим общий множитель $27$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.7.1

Вынесем множитель $3$ из $27$ .

$- \frac{81}{4} + 3 (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (- 2 \cdot 3) + 2 \cdot 0$

Этап 9.4.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.7.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$- \frac{81}{4} + 3 (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{0^{3}}{3}) + (- 2 \cdot 3) + 2 \cdot 0$

Этап 9.4.7.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{81}{4} + 3 (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{0^{3}}{3}) + (- 2 \cdot 3) + 2 \cdot 0$

Этап 9.4.7.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{81}{4} + 3 (\frac{9}{1} - \frac{0^{3}}{3}) + (- 2 \cdot 3) + 2 \cdot 0$

Этап 9.4.7.2.4

Разделим $9$ на $1$ .

$- \frac{81}{4} + 3 (9 - \frac{0^{3}}{3}) + (- 2 \cdot 3) + 2 \cdot 0$

Этап 9.4.8

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- \frac{81}{4} + 3 (9 - \frac{0}{3}) + (- 2 \cdot 3) + 2 \cdot 0$

Этап 9.4.9

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.9.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$- \frac{81}{4} + 3 (9 - \frac{3 (0)}{3}) + (- 2 \cdot 3) + 2 \cdot 0$

Этап 9.4.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.9.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$- \frac{81}{4} + 3 (9 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + (- 2 \cdot 3) + 2 \cdot 0$

Этап 9.4.9.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{81}{4} + 3 (9 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + (- 2 \cdot 3) + 2 \cdot 0$

Этап 9.4.9.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{81}{4} + 3 (9 - \frac{0}{1}) + (- 2 \cdot 3) + 2 \cdot 0$

Этап 9.4.9.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$- \frac{81}{4} + 3 (9 - 0) + (- 2 \cdot 3) + 2 \cdot 0$

Этап 9.4.10

Умножим $- 1$ на $0$ .

$- \frac{81}{4} + 3 (9 + 0) + (- 2 \cdot 3) + 2 \cdot 0$

Этап 9.4.11

Добавим $9$ и $0$ .

$- \frac{81}{4} + 3 \cdot 9 + (- 2 \cdot 3) + 2 \cdot 0$

Этап 9.4.12

Умножим $3$ на $9$ .

$- \frac{81}{4} + 27 + (- 2 \cdot 3) + 2 \cdot 0$

Этап 9.4.13

Чтобы записать $27$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{81}{4} + 27 \cdot \frac{4}{4} + (- 2 \cdot 3) + 2 \cdot 0$

Этап 9.4.14

Объединим $27$ и $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{81}{4} + \frac{27 \cdot 4}{4} + (- 2 \cdot 3) + 2 \cdot 0$

Этап 9.4.15

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 81 + 27 \cdot 4}{4} + (- 2 \cdot 3) + 2 \cdot 0$

Этап 9.4.16

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.16.1

Умножим $27$ на $4$ .

$\frac{- 81 + 108}{4} + (- 2 \cdot 3) + 2 \cdot 0$

Этап 9.4.16.2

Добавим $- 81$ и $108$ .

$\frac{27}{4} + (- 2 \cdot 3) + 2 \cdot 0$

Этап 9.4.17

Умножим $- 2$ на $3$ .

$\frac{27}{4} - 6 + 2 \cdot 0$

Этап 9.4.18

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{27}{4} - 6 + 0$

Этап 9.4.19

Добавим $- 6$ и $0$ .

$\frac{27}{4} - 6$

Этап 9.4.20

Чтобы записать $- 6$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{27}{4} - 6 \cdot \frac{4}{4}$

Этап 9.4.21

Объединим $- 6$ и $\frac{4}{4}$ .

$\frac{27}{4} + \frac{- 6 \cdot 4}{4}$

Этап 9.4.22

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{27 - 6 \cdot 4}{4}$

Этап 9.4.23

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.23.1

Умножим $- 6$ на $4$ .

$\frac{27 - 24}{4}$

Этап 9.4.23.2

Вычтем $24$ из $27$ .

$\frac{3}{4}$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{3}{4}$

Десятичная форма:

$0.75$

Этап 11