Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{2} \cdot {(3 + \sin (4 x))}^{2} d x$

Этап 1

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} {(3 + \sin (4 x))}^{2} d x$

Этап 2

Пусть $u_{1} = 4 x$ . Тогда $d u_{1} = 4 d x$ , следовательно $\frac{1}{4} d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u_{1} = 4 x$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Этап 2.1.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Этап 2.1.4

Умножим $4$ на $1$ .

$4$

Этап 2.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u_{1} = 4 x$ .

$u_{lower} = 4 \cdot 0$

Этап 2.3

Умножим $4$ на $0$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 2.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u_{1} = 4 x$ .

$u_{upper} = 4 (2 π)$

Этап 2.5

Умножим $2$ на $4$ .

$u_{upper} = 8 π$

Этап 2.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 8 π$

Этап 2.7

Переформулируем задачу, используя $u_{1}$ , $d u_{1}$ и новые пределы интегрирования.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{8 π} {(3 + \sin (u_{1}))}^{2} \frac{1}{4} d u_{1}$

Этап 3

Объединим ${(3 + \sin (u_{1}))}^{2}$ и $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{8 π} \frac{{(3 + \sin (u_{1}))}^{2}}{4} d u_{1}$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} \int_{0}^{8 π} {(3 + \sin (u_{1}))}^{2} d u_{1})$

Этап 5

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4 \cdot 2} \int_{0}^{8 π} {(3 + \sin (u_{1}))}^{2} d u_{1}$

Этап 5.1.2

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{1}{8} \int_{0}^{8 π} {(3 + \sin (u_{1}))}^{2} d u_{1}$

Этап 5.2

Развернем ${(3 + \sin (u_{1}))}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Перепишем ${(3 + \sin (u_{1}))}^{2}$ в виде $(3 + \sin (u_{1})) (3 + \sin (u_{1}))$ .

$\frac{1}{8} \int_{0}^{8 π} (3 + \sin (u_{1})) (3 + \sin (u_{1})) d u_{1}$

Этап 5.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{8} \int_{0}^{8 π} 3 (3 + \sin (u_{1})) + \sin (u_{1}) (3 + \sin (u_{1})) d u_{1}$

Этап 5.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{8} \int_{0}^{8 π} 3 \cdot 3 + 3 \sin (u_{1}) + \sin (u_{1}) (3 + \sin (u_{1})) d u_{1}$

Этап 5.2.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{8} \int_{0}^{8 π} 3 \cdot 3 + 3 \sin (u_{1}) + \sin (u_{1}) \cdot 3 + \sin (u_{1}) \sin (u_{1}) d u_{1}$

Этап 5.2.5

Изменим порядок $\sin (u_{1})$ и $3$ .

$\frac{1}{8} \int_{0}^{8 π} 3 \cdot 3 + 3 \sin (u_{1}) + 3 \cdot \sin (u_{1}) + \sin (u_{1}) \sin (u_{1}) d u_{1}$

Этап 5.2.6

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{1}{8} \int_{0}^{8 π} 9 + 3 \sin (u_{1}) + 3 \sin (u_{1}) + \sin (u_{1}) \sin (u_{1}) d u_{1}$

Этап 5.2.7

Возведем $\sin (u_{1})$ в степень $1$ .

$\frac{1}{8} \int_{0}^{8 π} 9 + 3 \sin (u_{1}) + 3 \sin (u_{1}) + \sin^{1} (u_{1}) \sin (u_{1}) d u_{1}$

Этап 5.2.8

Возведем $\sin (u_{1})$ в степень $1$ .

$\frac{1}{8} \int_{0}^{8 π} 9 + 3 \sin (u_{1}) + 3 \sin (u_{1}) + \sin^{1} (u_{1}) \sin^{1} (u_{1}) d u_{1}$

Этап 5.2.9

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{8} \int_{0}^{8 π} 9 + 3 \sin (u_{1}) + 3 \sin (u_{1}) + {\sin (u_{1})}^{1 + 1} d u_{1}$

Этап 5.2.10

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{8} \int_{0}^{8 π} 9 + 3 \sin (u_{1}) + 3 \sin (u_{1}) + \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Этап 5.2.11

Добавим $3 \sin (u_{1})$ и $3 \sin (u_{1})$ .

$\frac{1}{8} \int_{0}^{8 π} 9 + 6 \sin (u_{1}) + \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Этап 6

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{8} (\int_{0}^{8 π} 9 d u_{1} + \int_{0}^{8 π} 6 \sin (u_{1}) d u_{1} + \int_{0}^{8 π} \sin^{2} (u_{1}) d u_{1})$

Этап 7

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{8} (9 u_{1}]_{0}^{8 π} + \int_{0}^{8 π} 6 \sin (u_{1}) d u_{1} + \int_{0}^{8 π} \sin^{2} (u_{1}) d u_{1})$

Этап 8

Поскольку $6$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $6$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{8} (9 u_{1}]_{0}^{8 π} + 6 \int_{0}^{8 π} \sin (u_{1}) d u_{1} + \int_{0}^{8 π} \sin^{2} (u_{1}) d u_{1})$

Этап 9

Интеграл $\sin (u_{1})$ по $u_{1}$ имеет вид $- \cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{8} (9 u_{1}]_{0}^{8 π} + 6 (- \cos (u_{1})]_{0}^{8 π}) + \int_{0}^{8 π} \sin^{2} (u_{1}) d u_{1})$

Этап 10

Используем формулу половинного угла для записи $\sin^{2} (u_{1})$ в виде $\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$\frac{1}{8} (9 u_{1}]_{0}^{8 π} + 6 (- \cos (u_{1})]_{0}^{8 π}) + \int_{0}^{8 π} \frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1})$

Этап 11

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{8} (9 u_{1}]_{0}^{8 π} + 6 (- \cos (u_{1})]_{0}^{8 π}) + \frac{1}{2} \int_{0}^{8 π} 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Этап 12

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{8} (9 u_{1}]_{0}^{8 π} + 6 (- \cos (u_{1})]_{0}^{8 π}) + \frac{1}{2} (\int_{0}^{8 π} d u_{1} + \int_{0}^{8 π} - \cos (2 u_{1}) d u_{1}))$

Этап 13

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{8} (9 u_{1}]_{0}^{8 π} + 6 (- \cos (u_{1})]_{0}^{8 π}) + \frac{1}{2} (u_{1}]_{0}^{8 π} + \int_{0}^{8 π} - \cos (2 u_{1}) d u_{1}))$

Этап 14

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{8} (9 u_{1}]_{0}^{8 π} + 6 (- \cos (u_{1})]_{0}^{8 π}) + \frac{1}{2} (u_{1}]_{0}^{8 π} - \int_{0}^{8 π} \cos (2 u_{1}) d u_{1}))$

Этап 15

Пусть $u_{2} = 2 u_{1}$ . Тогда $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Пусть $u_{2} = 2 u_{1}$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.1

Дифференцируем $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Этап 15.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $u_{1}$ , производная $2 u_{1}$ по $u_{1}$ равна $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Этап 15.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 15.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 15.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $u_{1}$ в $u_{2} = 2 u_{1}$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Этап 15.3

Умножим $2$ на $0$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 15.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $u_{1}$ в $u_{2} = 2 u_{1}$ .

$u_{upper} = 2 (8 π)$

Этап 15.5

Умножим $8$ на $2$ .

$u_{upper} = 16 π$

Этап 15.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 16 π$

Этап 15.7

Переформулируем задачу, используя $u_{2}$ , $d u_{2}$ и новые пределы интегрирования.

$\frac{1}{8} (9 u_{1}]_{0}^{8 π} + 6 (- \cos (u_{1})]_{0}^{8 π}) + \frac{1}{2} (u_{1}]_{0}^{8 π} - \int_{0}^{16 π} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}))$

Этап 16

Объединим $\cos (u_{2})$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8} (9 u_{1}]_{0}^{8 π} + 6 (- \cos (u_{1})]_{0}^{8 π}) + \frac{1}{2} (u_{1}]_{0}^{8 π} - \int_{0}^{16 π} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2}))$

Этап 17

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{8} (9 u_{1}]_{0}^{8 π} + 6 (- \cos (u_{1})]_{0}^{8 π}) + \frac{1}{2} (u_{1}]_{0}^{8 π} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{16 π} \cos (u_{2}) d u_{2})))$

Этап 18

Интеграл $\cos (u_{2})$ по $u_{2}$ имеет вид $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{8} (9 u_{1}]_{0}^{8 π} + 6 (- \cos (u_{1})]_{0}^{8 π}) + \frac{1}{2} (u_{1}]_{0}^{8 π} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{16 π}))$

Этап 19

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Найдем значение $9 u_{1}$ в $8 π$ и в $0$ .

$\frac{1}{8} ((9 (8 π)) - 9 \cdot 0 + 6 (- \cos (u_{1})]_{0}^{8 π}) + \frac{1}{2} (u_{1}]_{0}^{8 π} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{16 π}))$

Этап 19.2

Найдем значение $- \cos (u_{1})$ в $8 π$ и в $0$ .

$\frac{1}{8} (9 (8 π) - 9 \cdot 0 + 6 (- \cos (8 π) + \cos (0)) + \frac{1}{2} (u_{1}]_{0}^{8 π} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{16 π}))$

Этап 19.3

Найдем значение $u_{1}$ в $8 π$ и в $0$ .

$\frac{1}{8} (9 (8 π) - 9 \cdot 0 + 6 (- \cos (8 π) + \cos (0)) + \frac{1}{2} ((8 π) + 0 - \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{16 π}))$

Этап 19.4

Найдем значение $\sin (u_{2})$ в $16 π$ и в $0$ .

$\frac{1}{8} (9 (8 π) - 9 \cdot 0 + 6 (- \cos (8 π) + \cos (0)) + \frac{1}{2} ((8 π) + 0 - \frac{1}{2} ((\sin (16 π)) - \sin (0))))$

Этап 19.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.5.1

Умножим $8$ на $9$ .

$\frac{1}{8} (72 π - 9 \cdot 0 + 6 (- \cos (8 π) + \cos (0)) + \frac{1}{2} ((8 π) + 0 - \frac{1}{2} ((\sin (16 π)) - \sin (0))))$

Этап 19.5.2

Умножим $- 9$ на $0$ .

$\frac{1}{8} (72 π + 0 + 6 (- \cos (8 π) + \cos (0)) + \frac{1}{2} ((8 π) + 0 - \frac{1}{2} ((\sin (16 π)) - \sin (0))))$

Этап 19.5.3

Добавим $72 π$ и $0$ .

$\frac{1}{8} (72 π + 6 (- \cos (8 π) + \cos (0)) + \frac{1}{2} ((8 π) + 0 - \frac{1}{2} ((\sin (16 π)) - \sin (0))))$

Этап 19.5.4

Добавим $8 π$ и $0$ .

$\frac{1}{8} (72 π + 6 (- \cos (8 π) + \cos (0)) + \frac{1}{2} (8 π - \frac{1}{2} (\sin (16 π) - \sin (0))))$

Этап 20

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.1

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{1}{8} (72 π + 6 (- \cos (8 π) + 1) + \frac{1}{2} (8 π - \frac{1}{2} (\sin (16 π) - \sin (0))))$

Этап 20.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{1}{8} (72 π + 6 (- \cos (8 π) + 1) + \frac{1}{2} (8 π - \frac{1}{2} (\sin (16 π) - 0)))$

Этап 20.3

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{1}{8} (72 π + 6 (- \cos (8 π) + 1) + \frac{1}{2} (8 π - \frac{1}{2} (\sin (16 π) + 0)))$

Этап 20.4

Добавим $\sin (16 π)$ и $0$ .

$\frac{1}{8} (72 π + 6 (- \cos (8 π) + 1) + \frac{1}{2} (8 π - \frac{1}{2} \sin (16 π)))$

Этап 20.5

Объединим $\sin (16 π)$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8} (72 π + 6 (- \cos (8 π) + 1) + \frac{1}{2} (8 π - \frac{\sin (16 π)}{2}))$

Этап 21

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.1

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$\frac{1}{8} (72 π + 6 (- \cos (0) + 1) + \frac{1}{2} (8 π - \frac{\sin (16 π)}{2}))$

Этап 21.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{1}{8} (72 π + 6 (- 1 \cdot 1 + 1) + \frac{1}{2} (8 π - \frac{\sin (16 π)}{2}))$

Этап 21.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{8} (72 π + 6 (- 1 + 1) + \frac{1}{2} (8 π - \frac{\sin (16 π)}{2}))$

Этап 21.4

Добавим $- 1$ и $1$ .

$\frac{1}{8} (72 π + 6 \cdot 0 + \frac{1}{2} (8 π - \frac{\sin (16 π)}{2}))$

Этап 21.5

Умножим $6$ на $0$ .

$\frac{1}{8} (72 π + 0 + \frac{1}{2} (8 π - \frac{\sin (16 π)}{2}))$

Этап 21.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.6.1

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$\frac{1}{8} (72 π + 0 + \frac{1}{2} (8 π - \frac{\sin (0)}{2}))$

Этап 21.6.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{1}{8} (72 π + 0 + \frac{1}{2} (8 π - \frac{0}{2}))$

Этап 21.7

Разделим $0$ на $2$ .

$\frac{1}{8} (72 π + 0 + \frac{1}{2} (8 π - 0))$

Этап 21.8

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{1}{8} (72 π + 0 + \frac{1}{2} (8 π + 0))$

Этап 21.9

Добавим $8 π$ и $0$ .

$\frac{1}{8} (72 π + 0 + \frac{1}{2} (8 π))$

Этап 21.10

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.10.1

Вынесем множитель $2$ из $8 π$ .

$\frac{1}{8} (72 π + 0 + \frac{1}{2} (2 (4 π)))$

Этап 21.10.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{8} (72 π + 0 + \frac{1}{2} (2 (4 π)))$

Этап 21.10.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{8} (72 π + 0 + 4 π)$

Этап 21.11

Добавим $72 π$ и $0$ .

$\frac{1}{8} (72 π + 4 π)$

Этап 21.12

Добавим $72 π$ и $4 π$ .

$\frac{1}{8} (76 π)$

Этап 21.13

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.13.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$\frac{1}{4 (2)} (76 π)$

Этап 21.13.2

Вынесем множитель $4$ из $76 π$ .

$\frac{1}{4 (2)} (4 (19 π))$

Этап 21.13.3

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{4 \cdot 2} (4 (19 π))$

Этап 21.13.4

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} (19 π)$

Этап 21.14

Объединим $19$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{19}{2} π$

Этап 21.15

Объединим $\frac{19}{2}$ и $π$ .

$\frac{19 π}{2}$

Этап 22

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{19 π}{2}$

Десятичная форма:

$29.84513020 \dots$