Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{2} x (x^{2} - 1) d x$

Этап 1

Пусть $u = x^{2} - 1$ . Тогда $d u = 2 x d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = x^{2} - 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $x^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Этап 1.1.2

По правилу суммы производная $x^{2} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.1.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 x + 0$

Этап 1.1.5

Добавим $2 x$ и $0$ .

$2 x$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = x^{2} - 1$ .

$u_{lower} = 0^{2} - 1$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$u_{lower} = 0 - 1$

Этап 1.3.2

Вычтем $1$ из $0$ .

$u_{lower} = - 1$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = x^{2} - 1$ .

$u_{upper} = 2^{2} - 1$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$u_{upper} = 4 - 1$

Этап 1.5.2

Вычтем $1$ из $4$ .

$u_{upper} = 3$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = 3$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{- 1}^{3} u \frac{1}{2} d u$

Этап 2

Объединим $u$ и $\frac{1}{2}$ .

$\int_{- 1}^{3} \frac{u}{2} d u$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int_{- 1}^{3} u d u$

Этап 4

По правилу степени интеграл $u$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{2} u^{2}]_{- 1}^{3}$

Этап 5

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем значение $\frac{1}{2} u^{2}$ в $3$ и в $- 1$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 3^{2}) - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2})$

Этап 5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 9 - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2})$

Этап 5.2.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $9$ .

$\frac{1}{2} (\frac{9}{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2})$

Этап 5.2.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{9}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1)$

Этап 5.2.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{9}{2} - \frac{1}{2})$

Этап 5.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{9 - 1}{2}$

Этап 5.2.6

Вычтем $1$ из $9$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{8}{2}$

Этап 5.2.7

Сократим общий множитель $8$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.7.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 4}{2}$

Этап 5.2.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.7.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 4}{2 (1)}$

Этап 5.2.7.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2.7.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{1}$

Этап 5.2.7.2.4

Разделим $4$ на $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 4$

Этап 5.2.8

Объединим $\frac{1}{2}$ и $4$ .

$\frac{4}{2}$

Этап 5.2.9

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.9.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2}$

Этап 5.2.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.9.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}$

Этап 5.2.9.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2.9.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{1}$

Этап 5.2.9.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 6