Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{20} | x - 10 | d x$

Этап 1

Разобьем интеграл в зависимости от того, где $x - 10$ принимает положительные и отрицательные значения.

$\int_{0}^{10} - x + 10 d x + \int_{10}^{20} x - 10 d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{10} - x d x + \int_{0}^{10} 10 d x + \int_{10}^{20} x - 10 d x$

Этап 3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int_{0}^{10} x d x + \int_{0}^{10} 10 d x + \int_{10}^{20} x - 10 d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{10}) + \int_{0}^{10} 10 d x + \int_{10}^{20} x - 10 d x$

Этап 5

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{10}) + \int_{0}^{10} 10 d x + \int_{10}^{20} x - 10 d x$

Этап 6

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{10}) + 10 x]_{0}^{10} + \int_{10}^{20} x - 10 d x$

Этап 7

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{10}) + 10 x]_{0}^{10} + \int_{10}^{20} x d x + \int_{10}^{20} - 10 d x$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{10}) + 10 x]_{0}^{10} + \frac{1}{2} x^{2}]_{10}^{20} + \int_{10}^{20} - 10 d x$

Этап 9

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{10}) + 10 x]_{0}^{10} + \frac{1}{2} x^{2}]_{10}^{20} + - 10 x]_{10}^{20}$

Этап 10

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Объединим $\frac{1}{2} x^{2}]_{10}^{20}$ и $- 10 x]_{10}^{20}$ .

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{10}) + 10 x]_{0}^{10} + \frac{1}{2} x^{2} - 10 x]_{10}^{20}$

Этап 10.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $10$ и в $0$ .

$- ((\frac{10^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 10 x]_{0}^{10} + \frac{1}{2} x^{2} - 10 x]_{10}^{20}$

Этап 10.2.2

Найдем значение $10 x$ в $10$ и в $0$ .

$- (\frac{10^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 10 \cdot 10 - 10 \cdot 0 + \frac{1}{2} x^{2} - 10 x]_{10}^{20}$

Этап 10.2.3

Найдем значение $\frac{1}{2} x^{2} - 10 x$ в $20$ и в $10$ .

$- (\frac{10^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 10 \cdot 10 - 10 \cdot 0 + (\frac{1}{2} \cdot 20^{2} - 10 \cdot 20) - (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 10 \cdot 10)$

Этап 10.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.4.1

Возведем $10$ в степень $2$ .

$- (\frac{100}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 10 \cdot 10 - 10 \cdot 0 + (\frac{1}{2} \cdot 20^{2} - 10 \cdot 20) - (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 10 \cdot 10)$

Этап 10.2.4.2

Сократим общий множитель $100$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $100$ .

$- (\frac{2 \cdot 50}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 10 \cdot 10 - 10 \cdot 0 + (\frac{1}{2} \cdot 20^{2} - 10 \cdot 20) - (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 10 \cdot 10)$

Этап 10.2.4.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.4.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- (\frac{2 \cdot 50}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2}) + 10 \cdot 10 - 10 \cdot 0 + (\frac{1}{2} \cdot 20^{2} - 10 \cdot 20) - (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 10 \cdot 10)$

Этап 10.2.4.2.2.2

Сократим общий множитель.

$- (\frac{2 \cdot 50}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2}) + 10 \cdot 10 - 10 \cdot 0 + (\frac{1}{2} \cdot 20^{2} - 10 \cdot 20) - (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 10 \cdot 10)$

Этап 10.2.4.2.2.3

Перепишем это выражение.

$- (\frac{50}{1} - \frac{0^{2}}{2}) + 10 \cdot 10 - 10 \cdot 0 + (\frac{1}{2} \cdot 20^{2} - 10 \cdot 20) - (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 10 \cdot 10)$

Этап 10.2.4.2.2.4

Разделим $50$ на $1$ .

$- (50 - \frac{0^{2}}{2}) + 10 \cdot 10 - 10 \cdot 0 + (\frac{1}{2} \cdot 20^{2} - 10 \cdot 20) - (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 10 \cdot 10)$

Этап 10.2.4.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- (50 - \frac{0}{2}) + 10 \cdot 10 - 10 \cdot 0 + (\frac{1}{2} \cdot 20^{2} - 10 \cdot 20) - (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 10 \cdot 10)$

Этап 10.2.4.4

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.4.4.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$- (50 - \frac{2 (0)}{2}) + 10 \cdot 10 - 10 \cdot 0 + (\frac{1}{2} \cdot 20^{2} - 10 \cdot 20) - (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 10 \cdot 10)$

Этап 10.2.4.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.4.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- (50 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 10 \cdot 10 - 10 \cdot 0 + (\frac{1}{2} \cdot 20^{2} - 10 \cdot 20) - (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 10 \cdot 10)$

Этап 10.2.4.4.2.2

Сократим общий множитель.

$- (50 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 10 \cdot 10 - 10 \cdot 0 + (\frac{1}{2} \cdot 20^{2} - 10 \cdot 20) - (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 10 \cdot 10)$

Этап 10.2.4.4.2.3

Перепишем это выражение.

$- (50 - \frac{0}{1}) + 10 \cdot 10 - 10 \cdot 0 + (\frac{1}{2} \cdot 20^{2} - 10 \cdot 20) - (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 10 \cdot 10)$

Этап 10.2.4.4.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$- (50 - 0) + 10 \cdot 10 - 10 \cdot 0 + (\frac{1}{2} \cdot 20^{2} - 10 \cdot 20) - (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 10 \cdot 10)$

Этап 10.2.4.5

Умножим $- 1$ на $0$ .

$- (50 + 0) + 10 \cdot 10 - 10 \cdot 0 + (\frac{1}{2} \cdot 20^{2} - 10 \cdot 20) - (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 10 \cdot 10)$

Этап 10.2.4.6

Добавим $50$ и $0$ .

$- 1 \cdot 50 + 10 \cdot 10 - 10 \cdot 0 + (\frac{1}{2} \cdot 20^{2} - 10 \cdot 20) - (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 10 \cdot 10)$

Этап 10.2.4.7

Умножим $- 1$ на $50$ .

$- 50 + 10 \cdot 10 - 10 \cdot 0 + (\frac{1}{2} \cdot 20^{2} - 10 \cdot 20) - (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 10 \cdot 10)$

Этап 10.2.4.8

Умножим $10$ на $10$ .

$- 50 + 100 - 10 \cdot 0 + (\frac{1}{2} \cdot 20^{2} - 10 \cdot 20) - (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 10 \cdot 10)$

Этап 10.2.4.9

Умножим $- 10$ на $0$ .

$- 50 + 100 + 0 + (\frac{1}{2} \cdot 20^{2} - 10 \cdot 20) - (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 10 \cdot 10)$

Этап 10.2.4.10

Добавим $100$ и $0$ .

$- 50 + 100 + (\frac{1}{2} \cdot 20^{2} - 10 \cdot 20) - (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 10 \cdot 10)$

Этап 10.2.4.11

Добавим $- 50$ и $100$ .

$50 + (\frac{1}{2} \cdot 20^{2} - 10 \cdot 20) - (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 10 \cdot 10)$

Этап 10.2.4.12

Возведем $20$ в степень $2$ .

$50 + \frac{1}{2} \cdot 400 - 10 \cdot 20 - (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 10 \cdot 10)$

Этап 10.2.4.13

Объединим $\frac{1}{2}$ и $400$ .

$50 + \frac{400}{2} - 10 \cdot 20 - (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 10 \cdot 10)$

Этап 10.2.4.14

Сократим общий множитель $400$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.4.14.1

Вынесем множитель $2$ из $400$ .

$50 + \frac{2 \cdot 200}{2} - 10 \cdot 20 - (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 10 \cdot 10)$

Этап 10.2.4.14.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.4.14.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$50 + \frac{2 \cdot 200}{2 (1)} - 10 \cdot 20 - (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 10 \cdot 10)$

Этап 10.2.4.14.2.2

Сократим общий множитель.

$50 + \frac{2 \cdot 200}{2 \cdot 1} - 10 \cdot 20 - (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 10 \cdot 10)$

Этап 10.2.4.14.2.3

Перепишем это выражение.

$50 + \frac{200}{1} - 10 \cdot 20 - (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 10 \cdot 10)$

Этап 10.2.4.14.2.4

Разделим $200$ на $1$ .

$50 + 200 - 10 \cdot 20 - (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 10 \cdot 10)$

Этап 10.2.4.15

Умножим $- 10$ на $20$ .

$50 + 200 - 200 - (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 10 \cdot 10)$

Этап 10.2.4.16

Вычтем $200$ из $200$ .

$50 + 0 - (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 10 \cdot 10)$

Этап 10.2.4.17

Возведем $10$ в степень $2$ .

$50 + 0 - (\frac{1}{2} \cdot 100 - 10 \cdot 10)$

Этап 10.2.4.18

Объединим $\frac{1}{2}$ и $100$ .

$50 + 0 - (\frac{100}{2} - 10 \cdot 10)$

Этап 10.2.4.19

Сократим общий множитель $100$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.4.19.1

Вынесем множитель $2$ из $100$ .

$50 + 0 - (\frac{2 \cdot 50}{2} - 10 \cdot 10)$

Этап 10.2.4.19.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.4.19.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$50 + 0 - (\frac{2 \cdot 50}{2 (1)} - 10 \cdot 10)$

Этап 10.2.4.19.2.2

Сократим общий множитель.

$50 + 0 - (\frac{2 \cdot 50}{2 \cdot 1} - 10 \cdot 10)$

Этап 10.2.4.19.2.3

Перепишем это выражение.

$50 + 0 - (\frac{50}{1} - 10 \cdot 10)$

Этап 10.2.4.19.2.4

Разделим $50$ на $1$ .

$50 + 0 - (50 - 10 \cdot 10)$

Этап 10.2.4.20

Умножим $- 10$ на $10$ .

$50 + 0 - (50 - 100)$

Этап 10.2.4.21

Вычтем $100$ из $50$ .

$50 + 0 - - 50$

Этап 10.2.4.22

Умножим $- 1$ на $- 50$ .

$50 + 0 + 50$

Этап 10.2.4.23

Добавим $0$ и $50$ .

$50 + 50$

Этап 10.2.4.24

Добавим $50$ и $50$ .

$100$

Этап 11