Математический анализ Примеры

$\int_{- 0.5}^{0.5} 4 \cos (π x) - (12 x^{2} - 3) d x$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 0.5}^{0.5} 4 \cos (π x) d x + \int_{- 0.5}^{0.5} - (12 x^{2} - 3) d x$

Этап 2

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$4 \int_{- 0.5}^{0.5} \cos (π x) d x + \int_{- 0.5}^{0.5} - (12 x^{2} - 3) d x$

Этап 3

Пусть $u = π x$ . Тогда $d u = π d x$ , следовательно $\frac{1}{π} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть $u = π x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Дифференцируем $π x$ .

$\frac{d}{d x} [π x]$

Этап 3.1.2

Поскольку $π$ является константой относительно $x$ , производная $π x$ по $x$ равна $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$π \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$π \cdot 1$

Этап 3.1.4

Умножим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 3.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = π x$ .

$u_{lower} = π \cdot - 0.5$

Этап 3.3

Умножим $π$ на $- 0.5$ .

$u_{lower} = - 1.57079632$

Этап 3.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = π x$ .

$u_{upper} = π \cdot 0.5$

Этап 3.5

Умножим $π$ на $0.5$ .

$u_{upper} = 1.57079632$

Этап 3.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = - 1.57079632$

$u_{upper} = 1.57079632$

Этап 3.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$4 \int_{- 1.57079632}^{1.57079632} \cos (u) \frac{1}{π} d u + \int_{- 0.5}^{0.5} - (12 x^{2} - 3) d x$

Этап 4

Объединим $\cos (u)$ и $\frac{1}{π}$ .

$4 \int_{- 1.57079632}^{1.57079632} \frac{\cos (u)}{π} d u + \int_{- 0.5}^{0.5} - (12 x^{2} - 3) d x$

Этап 5

Поскольку $\frac{1}{π}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{π}$ из-под знака интеграла.

$4 (\frac{1}{π} \int_{- 1.57079632}^{1.57079632} \cos (u) d u) + \int_{- 0.5}^{0.5} - (12 x^{2} - 3) d x$

Этап 6

Объединим $\frac{1}{π}$ и $4$ .

$\frac{4}{π} \int_{- 1.57079632}^{1.57079632} \cos (u) d u + \int_{- 0.5}^{0.5} - (12 x^{2} - 3) d x$

Этап 7

Интеграл $\cos (u)$ по $u$ имеет вид $\sin (u)$ .

$\frac{4}{π} \sin (u)]_{- 1.57079632}^{1.57079632} + \int_{- 0.5}^{0.5} - (12 x^{2} - 3) d x$

Этап 8

Умножим $- (12 x^{2} - 3)$ .

$\frac{4}{π} \sin (u)]_{- 1.57079632}^{1.57079632} + \int_{- 0.5}^{0.5} - (12 x^{2}) - - 3 d x$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим $12$ на $- 1$ .

$\frac{4}{π} \sin (u)]_{- 1.57079632}^{1.57079632} + \int_{- 0.5}^{0.5} - 12 x^{2} - - 3 d x$

Этап 9.2

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$\frac{4}{π} \sin (u)]_{- 1.57079632}^{1.57079632} + \int_{- 0.5}^{0.5} - 12 x^{2} + 3 d x$

Этап 10

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{4}{π} \sin (u)]_{- 1.57079632}^{1.57079632} + \int_{- 0.5}^{0.5} - 12 x^{2} d x + \int_{- 0.5}^{0.5} 3 d x$

Этап 11

Поскольку $- 12$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 12$ из-под знака интеграла.

$\frac{4}{π} \sin (u)]_{- 1.57079632}^{1.57079632} - 12 \int_{- 0.5}^{0.5} x^{2} d x + \int_{- 0.5}^{0.5} 3 d x$

Этап 12

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{4}{π} \sin (u)]_{- 1.57079632}^{1.57079632} - 12 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 0.5}^{0.5}) + \int_{- 0.5}^{0.5} 3 d x$

Этап 13

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$\frac{4}{π} \sin (u)]_{- 1.57079632}^{1.57079632} - 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 0.5}^{0.5}) + \int_{- 0.5}^{0.5} 3 d x$

Этап 14

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{4}{π} \sin (u)]_{- 1.57079632}^{1.57079632} - 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 0.5}^{0.5}) + 3 x]_{- 0.5}^{0.5}$

Этап 15

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Найдем значение $\sin (u)$ в $1.57079632$ и в $- 1.57079632$ .

$\frac{4}{π} ((\sin (1.57079632)) - \sin (- 1.57079632)) - 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 0.5}^{0.5}) + 3 x]_{- 0.5}^{0.5}$

Этап 15.2

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $0.5$ и в $- 0.5$ .

$\frac{4}{π} ((\sin (1.57079632)) - \sin (- 1.57079632)) - 12 ((\frac{{0.5}^{3}}{3}) - \frac{{(- 0.5)}^{3}}{3}) + 3 x]_{- 0.5}^{0.5}$

Этап 15.3

Найдем значение $3 x$ в $0.5$ и в $- 0.5$ .

$\frac{4}{π} ((\sin (1.57079632)) - \sin (- 1.57079632)) - 12 (\frac{{0.5}^{3}}{3} - \frac{{(- 0.5)}^{3}}{3}) + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

Этап 15.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.4.1

Возведем $0.5$ в степень $3$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 12 (\frac{0.125}{3} - \frac{{(- 0.5)}^{3}}{3}) + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

Этап 15.4.2

Возведем $- 0.5$ в степень $3$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 12 (\frac{0.125}{3} - \frac{- 0.125}{3}) + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

Этап 15.4.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 12 (\frac{0.125}{3} - - \frac{0.125}{3}) + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

Этап 15.4.4

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 12 (\frac{0.125}{3} + 1 (\frac{0.125}{3})) + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

Этап 15.4.5

Умножим $\frac{0.125}{3}$ на $1$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 12 (\frac{0.125}{3} + \frac{0.125}{3}) + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

Этап 15.4.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 12 \frac{0.125 + 0.125}{3} + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

Этап 15.4.7

Добавим $0.125$ и $0.125$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 12 (\frac{0.25}{3}) + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

Этап 15.4.8

Объединим $- 12$ и $\frac{0.25}{3}$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) + \frac{- 12 \cdot 0.25}{3} + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

Этап 15.4.9

Умножим $- 12$ на $0.25$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) + \frac{- 3}{3} + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

Этап 15.4.10

Сократим общий множитель $- 3$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.4.10.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) + \frac{3 \cdot - 1}{3} + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

Этап 15.4.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.4.10.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) + \frac{3 \cdot - 1}{3 (1)} + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

Этап 15.4.10.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) + \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1} + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

Этап 15.4.10.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) + \frac{- 1}{1} + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

Этап 15.4.10.2.4

Разделим $- 1$ на $1$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 1 + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

Этап 15.4.11

Умножим $3$ на $0.5$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 1 + 1.5 - 3 \cdot - 0.5$

Этап 15.4.12

Умножим $- 3$ на $- 0.5$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 1 + 1.5 + 1.5$

Этап 15.4.13

Добавим $1.5$ и $1.5$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 1 + 3$

Этап 15.4.14

Добавим $- 1$ и $3$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) + 2$

Этап 16

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4}{π} \sin (1.57079632) + \frac{4}{π} (- \sin (- 1.57079632)) + 2$

Этап 16.1.2

Объединим $\frac{4}{π}$ и $\sin (1.57079632)$ .

$\frac{4 \sin (1.57079632)}{π} + \frac{4}{π} (- \sin (- 1.57079632)) + 2$

Этап 16.1.3

Объединим $\frac{4}{π}$ и $\sin (- 1.57079632)$ .

$\frac{4 \sin (1.57079632)}{π} - \frac{4 \sin (- 1.57079632)}{π} + 2$

Этап 16.1.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1.4.1

Найдем значение $\sin (1.57079632)$ .

$\frac{4 \cdot 1}{π} - \frac{4 \sin (- 1.57079632)}{π} + 2$

Этап 16.1.4.2

Умножим $4$ на $1$ .

$\frac{4}{π} - \frac{4 \sin (- 1.57079632)}{π} + 2$

Этап 16.1.4.3

Найдем значение $\sin (- 1.57079632)$ .

$\frac{4}{π} - \frac{4 \cdot - 1}{π} + 2$

Этап 16.1.4.4

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\frac{4}{π} - \frac{- 4}{π} + 2$

Этап 16.1.4.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{4}{π} - - \frac{4}{π} + 2$

Этап 16.1.4.6

Умножим $- - \frac{4}{π}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1.4.6.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{4}{π} + 1 \frac{4}{π} + 2$

Этап 16.1.4.6.2

Умножим $\frac{4}{π}$ на $1$ .

$\frac{4}{π} + \frac{4}{π} + 2$

Этап 16.1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{4 + 4}{π} + 2$

Этап 16.1.6

Добавим $4$ и $4$ .

$\frac{8}{π} + 2$

Этап 16.2

Добавим $\frac{8}{π}$ и $2$ .

$4.54647908$