Математический анализ Примеры

$\int_{0.5}^{1} x^{2} \cot (x^{3}) d x$

Этап 1

Пусть $u = x^{3}$ . Тогда $d u = 3 x^{2} d x$ , следовательно $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = x^{3}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2}$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = x^{3}$ .

$u_{lower} = {0.5}^{3}$

Этап 1.3

Возведем $0.5$ в степень $3$ .

$u_{lower} = 0.125$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = x^{3}$ .

$u_{upper} = 1^{3}$

Этап 1.5

Единица в любой степени равна единице.

$u_{upper} = 1$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0.125$

$u_{upper} = 1$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{0.125}^{1} \cot (u) \frac{1}{3} d u$

Этап 2

Объединим $\cot (u)$ и $\frac{1}{3}$ .

$\int_{0.125}^{1} \frac{\cot (u)}{3} d u$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} \int_{0.125}^{1} \cot (u) d u$

Этап 4

Интеграл $\cot (u)$ по $u$ имеет вид $\ln (| \sin (u) |)$ .

$\frac{1}{3} \ln (| \sin (u) |)]_{0.125}^{1}$

Этап 5

Найдем значение $\ln (| \sin (u) |)$ в $1$ и в $0.125$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| \sin (1) |) - \ln (| \sin (0.125) |))$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{3} \ln (\frac{| \sin (1) |}{| \sin (0.125) |})$

Этап 6.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $\ln (\frac{| \sin (1) |}{| \sin (0.125) |})$ .

$\frac{\ln (\frac{| \sin (1) |}{| \sin (0.125) |})}{3}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{\ln (\frac{| \sin (1) |}{| \sin (0.125) |})}{3}$

Десятичная форма:

$- 0.65541022 \dots$