Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{e^{4}} \frac{\ln ({(x)}^{3})}{x} d x$

Этап 1

Перепишем $\frac{\ln (x^{3})}{x}$ в виде $\frac{3 \ln (x)}{x}$ .

$\int_{1}^{e^{4}} \frac{3 \ln (x)}{x} d x$

Этап 2

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int_{1}^{e^{4}} \frac{\ln (x)}{x} d x$

Этап 3

Пусть $u = \ln (x)$ . Тогда $d u = \frac{1}{x} d x$ , следовательно $x d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть $u = \ln (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Дифференцируем $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 3.1.2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Этап 3.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = \ln (x)$ .

$u_{lower} = \ln (1)$

Этап 3.3

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 3.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = \ln (x)$ .

$u_{upper} = \ln (e^{4})$

Этап 3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Используем основные свойства логарифмов, чтобы вынести $4$ из степени.

$u_{upper} = 4 \ln (e)$

Этап 3.5.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$u_{upper} = 4 \cdot 1$

Этап 3.5.3

Умножим $4$ на $1$ .

$u_{upper} = 4$

Этап 3.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 4$

Этап 3.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$3 \int_{0}^{4} u d u$

Этап 4

По правилу степени интеграл $u$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} u^{2}]_{0}^{4})$

Этап 5

Объединим $\frac{1}{2}$ и $u^{2}$ .

$3 (\frac{u^{2}}{2}]_{0}^{4})$

Этап 6

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем значение $\frac{u^{2}}{2}$ в $4$ и в $0$ .

$3 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$3 (\frac{16}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 6.2.2

Сократим общий множитель $16$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$3 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 6.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$3 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 6.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$3 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 6.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$3 (\frac{8}{1} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 6.2.2.2.4

Разделим $8$ на $1$ .

$3 (8 - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 6.2.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$3 (8 - \frac{0}{2})$

Этап 6.2.4

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$3 (8 - \frac{2 (0)}{2})$

Этап 6.2.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$3 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Этап 6.2.4.2.2

Сократим общий множитель.

$3 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Этап 6.2.4.2.3

Перепишем это выражение.

$3 (8 - \frac{0}{1})$

Этап 6.2.4.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$3 (8 - 0)$

Этап 6.2.5

Умножим $- 1$ на $0$ .

$3 (8 + 0)$

Этап 6.2.6

Добавим $8$ и $0$ .

$3 \cdot 8$

Этап 6.2.7

Умножим $3$ на $8$ .

$24$