Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{e^{2}} \frac{\ln (x)}{x} d x$

Этап 1

Пусть $u = \ln (x)$ . Тогда $d u = \frac{1}{x} d x$ , следовательно $x d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = \ln (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 1.1.2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = \ln (x)$ .

$u_{lower} = \ln (1)$

Этап 1.3

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = \ln (x)$ .

$u_{upper} = \ln (e^{2})$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Используем основные свойства логарифмов, чтобы вынести $2$ из степени.

$u_{upper} = 2 \ln (e)$

Этап 1.5.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 1$

Этап 1.5.3

Умножим $2$ на $1$ .

$u_{upper} = 2$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{0}^{2} u d u$

Этап 2

По правилу степени интеграл $u$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2}]_{0}^{2}$

Этап 3

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем значение $\frac{1}{2} u^{2}$ в $2$ и в $0$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 4 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Этап 3.2.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $4$ .

$\frac{4}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Этап 3.2.3

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Этап 3.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Этап 3.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Этап 3.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{1} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Этап 3.2.3.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$2 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Этап 3.2.4

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$2 - \frac{1}{2} \cdot 0$

Этап 3.2.5

Умножим $0$ на $- 1$ .

$2 + 0 (\frac{1}{2})$

Этап 3.2.6

Умножим $0$ на $\frac{1}{2}$ .

$2 + 0$

Этап 3.2.7

Добавим $2$ и $0$ .

$2$