Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{π} 2 \sin^{4} (x) d x$

Этап 1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int_{0}^{π} \sin^{4} (x) d x$

Этап 2

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$2 \int_{0}^{π} {\sin (x)}^{2 (2)} d x$

Этап 2.2

Перепишем ${\sin (x)}^{2 (2)}$ в виде степенного выражения.

$2 \int_{0}^{π} {(\sin^{2} (x))}^{2} d x$

Этап 3

Используем формулу половинного угла для записи $\sin^{2} (x)$ в виде $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ .

$2 \int_{0}^{π} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{2})}^{2} d x$

Этап 4

Пусть $u_{1} = 2 x$ . Тогда $d u_{1} = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u_{1} = 2 x$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 4.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 4.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 4.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u_{1} = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Этап 4.3

Умножим $2$ на $0$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 4.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u_{1} = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 π$

Этап 4.5

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2 π$

Этап 4.6

Переформулируем задачу, используя $u_{1}$ , $d u_{1}$ и новые пределы интегрирования.

$2 \int_{0}^{2 π} {(\frac{1 - \cos (u_{1})}{2})}^{2} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 5

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$2 (\frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} {(\frac{1 - \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1})$

Этап 6

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{2}{2} \int_{0}^{2 π} {(\frac{1 - \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1}$

Этап 6.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{2} \int_{0}^{2 π} {(\frac{1 - \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1}$

Этап 6.1.2.2

Перепишем это выражение.

$1 \int_{0}^{2 π} {(\frac{1 - \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1}$

Этап 6.1.3

Умножим $\int_{0}^{2 π} {(\frac{1 - \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1}$ на $1$ .

$\int_{0}^{2 π} {(\frac{1 - \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1}$

Этап 6.2

Перепишем $\frac{1 - \cos (u_{1})}{2}$ в виде произведения.

$\int_{0}^{2 π} {(\frac{1}{2} \cdot (1 - \cos (u_{1})))}^{2} d u_{1}$

Этап 6.3

Развернем ${(\frac{1}{2} \cdot (1 - \cos (u_{1})))}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Перепишем степенное выражение в виде произведения.

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{2} \cdot (1 - \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (1 - \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Этап 6.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\int_{0}^{2 π} (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) (\frac{1}{2} \cdot (1 - \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Этап 6.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\int_{0}^{2 π} (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Этап 6.3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Этап 6.3.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Этап 6.3.6

Применим свойство дистрибутивности.

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Этап 6.3.7

Изменим порядок $\frac{1}{2}$ и $1$ .

$\int_{0}^{2 π} 1 \cdot \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Этап 6.3.8

Изменим порядок $\frac{1}{2}$ и $1$ .

$\int_{0}^{2 π} 1 \cdot \frac{1}{2} (1 \cdot \frac{1}{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Этап 6.3.9

Перенесем $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{2 π} 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Этап 6.3.10

Изменим порядок $\frac{1}{2}$ и $1$ .

$\int_{0}^{2 π} 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Этап 6.3.11

Изменим порядок $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$\int_{0}^{2 π} 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} (- 1 \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1})) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Этап 6.3.12

Перенесем круглые скобки.

$\int_{0}^{2 π} 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} (- 1 \cdot \frac{1}{2}) \cos (u_{1}) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Этап 6.3.13

Перенесем $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{2 π} 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Этап 6.3.14

Изменим порядок $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$\int_{0}^{2 π} 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Этап 6.3.15

Изменим порядок $\frac{1}{2}$ и $1$ .

$\int_{0}^{2 π} 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) (1 \cdot \frac{1}{2}) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Этап 6.3.16

Перенесем $\cos (u_{1})$ .

$\int_{0}^{2 π} 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Этап 6.3.17

Перенесем $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{2 π} 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Этап 6.3.18

Изменим порядок $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$\int_{0}^{2 π} 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Этап 6.3.19

Изменим порядок $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

Этап 6.3.20

Перенесем круглые скобки.

Этап 6.3.21

Перенесем $\cos (u_{1})$ .

$\int_{0}^{2 π} 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{1}{2} \cdot - 1 \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Этап 6.3.22

Перенесем $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{2 π} 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Этап 6.3.23

Умножим $1$ на $1$ .

$\int_{0}^{2 π} 1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Этап 6.3.24

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Этап 6.3.25

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{2 \cdot 2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Этап 6.3.26

Умножим $2$ на $2$ .

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Этап 6.3.27

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Этап 6.3.28

Объединим $- \frac{1}{2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} - \frac{1}{2 \cdot 2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Этап 6.3.29

Умножим $2$ на $2$ .

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Этап 6.3.30

Объединим $\frac{1}{4}$ и $\cos (u_{1})$ .

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Этап 6.3.31

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Этап 6.3.32

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\cos (u_{1})$ .

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{2} \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Этап 6.3.33

Объединим $- \frac{\cos (u_{1})}{2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{2 \cdot 2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Этап 6.3.34

Умножим $2$ на $2$ .

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Этап 6.3.35

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Этап 6.3.36

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Этап 6.3.37

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\cos (u_{1})$ .

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Этап 6.3.38

Умножим $\frac{\cos (u_{1})}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{2 \cdot 2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Этап 6.3.39

Умножим $2$ на $2$ .

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Этап 6.3.40

Объединим $\frac{\cos (u_{1})}{4}$ и $\cos (u_{1})$ .

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1}) \cos (u_{1})}{4} d u_{1}$

Этап 6.3.41

Возведем $\cos (u_{1})$ в степень $1$ .

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos^{1} (u_{1}) \cos (u_{1})}{4} d u_{1}$

Этап 6.3.42

Возведем $\cos (u_{1})$ в степень $1$ .

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos^{1} (u_{1}) \cos^{1} (u_{1})}{4} d u_{1}$

Этап 6.3.43

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{{\cos (u_{1})}^{1 + 1}}{4} d u_{1}$

Этап 6.3.44

Добавим $1$ и $1$ .

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} d u_{1}$

Этап 6.3.45

Вычтем $\frac{\cos (u_{1})}{4}$ из $- \frac{\cos (u_{1})}{4}$ .

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} - 2 \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} d u_{1}$

Этап 6.3.46

Объединим $- 2$ и $\frac{\cos (u_{1})}{4}$ .

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} + \frac{- 2 \cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} d u_{1}$

Этап 6.3.47

Изменим порядок $\frac{- 2 \cos (u_{1})}{4}$ и $\frac{\cos^{2} (u_{1})}{4}$ .

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{- 2 \cos (u_{1})}{4} d u_{1}$

Этап 6.3.48

Изменим порядок $\frac{1}{4}$ и $\frac{\cos^{2} (u_{1})}{4}$ .

$\int_{0}^{2 π} \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{- 2 \cos (u_{1})}{4} d u_{1}$

Этап 6.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Сократим общий множитель $- 2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 \cos (u_{1})$ .

$\int_{0}^{2 π} \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2 (- \cos (u_{1}))}{4} d u_{1}$

Этап 6.4.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\int_{0}^{2 π} \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2 (- \cos (u_{1}))}{2 (2)} d u_{1}$

Этап 6.4.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\int_{0}^{2 π} \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2 (- \cos (u_{1}))}{2 \cdot 2} d u_{1}$

Этап 6.4.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\int_{0}^{2 π} \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{- \cos (u_{1})}{2} d u_{1}$

Этап 6.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int_{0}^{2 π} \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}$

Этап 7

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{2 π} \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}$

Этап 8

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} \int_{0}^{2 π} \cos^{2} (u_{1}) d u_{1} + \int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}$

Этап 9

Используем формулу половинного угла для записи $\cos^{2} (u_{1})$ в виде $\frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$\frac{1}{4} \int_{0}^{2 π} \frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}$

Этап 10

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}) + \int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 4} \int_{0}^{2 π} 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1} + \int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}$

Этап 11.2

Умножим $2$ на $4$ .

$\frac{1}{8} \int_{0}^{2 π} 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1} + \int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}$

Этап 12

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{8} (\int_{0}^{2 π} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} \cos (2 u_{1}) d u_{1}) + \int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}$

Этап 13

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{8} (u_{1}]_{0}^{2 π} + \int_{0}^{2 π} \cos (2 u_{1}) d u_{1}) + \int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}$

Этап 14

Пусть $u_{2} = 2 u_{1}$ . Тогда $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Пусть $u_{2} = 2 u_{1}$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.1

Дифференцируем $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Этап 14.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $u_{1}$ , производная $2 u_{1}$ по $u_{1}$ равна $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Этап 14.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 14.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 14.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $u_{1}$ в $u_{2} = 2 u_{1}$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Этап 14.3

Умножим $2$ на $0$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 14.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $u_{1}$ в $u_{2} = 2 u_{1}$ .

$u_{upper} = 2 (2 π)$

Этап 14.5

Умножим $2$ на $2$ .

$u_{upper} = 4 π$

Этап 14.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 4 π$

Этап 14.7

Переформулируем задачу, используя $u_{2}$ , $d u_{2}$ и новые пределы интегрирования.

$\frac{1}{8} (u_{1}]_{0}^{2 π} + \int_{0}^{4 π} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}) + \int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}$

Этап 15

Объединим $\cos (u_{2})$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8} (u_{1}]_{0}^{2 π} + \int_{0}^{4 π} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2}) + \int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}$

Этап 16

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{8} (u_{1}]_{0}^{2 π} + \frac{1}{2} \int_{0}^{4 π} \cos (u_{2}) d u_{2}) + \int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}$

Этап 17

Интеграл $\cos (u_{2})$ по $u_{2}$ имеет вид $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{8} (u_{1}]_{0}^{2 π} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{4 π}) + \int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}$

Этап 18

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{8} (u_{1}]_{0}^{2 π} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{4 π}) + \frac{1}{4} u_{1}]_{0}^{2 π} + \int_{0}^{2 π} - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}$

Этап 19

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{8} (u_{1}]_{0}^{2 π} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{4 π}) + \frac{1}{4} u_{1}]_{0}^{2 π} - \int_{0}^{2 π} \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}$

Этап 20

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{8} (u_{1}]_{0}^{2 π} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{4 π}) + \frac{1}{4} u_{1}]_{0}^{2 π} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} \cos (u_{1}) d u_{1})$

Этап 21

Интеграл $\cos (u_{1})$ по $u_{1}$ имеет вид $\sin (u_{1})$ .

$\frac{1}{8} (u_{1}]_{0}^{2 π} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{4 π}) + \frac{1}{4} u_{1}]_{0}^{2 π} - \frac{1}{2} \sin (u_{1})]_{0}^{2 π}$

Этап 22

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.1

Найдем значение $u_{1}$ в $2 π$ и в $0$ .

$\frac{1}{8} ((2 π) + 0 + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{4 π}) + \frac{1}{4} u_{1}]_{0}^{2 π} - \frac{1}{2} \sin (u_{1})]_{0}^{2 π}$

Этап 22.2

Найдем значение $\sin (u_{2})$ в $4 π$ и в $0$ .

$\frac{1}{8} ((2 π) + 0 + \frac{1}{2} ((\sin (4 π)) - \sin (0))) + \frac{1}{4} u_{1}]_{0}^{2 π} - \frac{1}{2} \sin (u_{1})]_{0}^{2 π}$

Этап 22.3

Найдем значение $\frac{1}{4} u_{1}$ в $2 π$ и в $0$ .

$\frac{1}{8} ((2 π) + 0 + \frac{1}{2} ((\sin (4 π)) - \sin (0))) + (\frac{1}{4} (2 π)) - \frac{1}{4} \cdot 0 - \frac{1}{2} \sin (u_{1})]_{0}^{2 π}$

Этап 22.4

Найдем значение $\sin (u_{1})$ в $2 π$ и в $0$ .

$\frac{1}{8} ((2 π) + 0 + \frac{1}{2} ((\sin (4 π)) - \sin (0))) + (\frac{1}{4} (2 π)) - \frac{1}{4} \cdot 0 - \frac{1}{2} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

Этап 22.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.5.1

Добавим $2 π$ и $0$ .

$\frac{1}{8} (2 π + \frac{1}{2} ((\sin (4 π)) - \sin (0))) + (\frac{1}{4} (2 π)) - \frac{1}{4} \cdot 0 - \frac{1}{2} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

Этап 22.5.2

Объединим $2$ и $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{8} (2 π + \frac{1}{2} (\sin (4 π) - \sin (0))) + \frac{2}{4} π - \frac{1}{4} \cdot 0 - \frac{1}{2} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

Этап 22.5.3

Объединим $\frac{2}{4}$ и $π$ .

$\frac{1}{8} (2 π + \frac{1}{2} (\sin (4 π) - \sin (0))) + \frac{2 π}{4} - \frac{1}{4} \cdot 0 - \frac{1}{2} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

Этап 22.5.4

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.5.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2 π$ .

$\frac{1}{8} (2 π + \frac{1}{2} (\sin (4 π) - \sin (0))) + \frac{2 (π)}{4} - \frac{1}{4} \cdot 0 - \frac{1}{2} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

Этап 22.5.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.5.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{1}{8} (2 π + \frac{1}{2} (\sin (4 π) - \sin (0))) + \frac{2 π}{2 \cdot 2} - \frac{1}{4} \cdot 0 - \frac{1}{2} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

Этап 22.5.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{8} (2 π + \frac{1}{2} (\sin (4 π) - \sin (0))) + \frac{2 π}{2 \cdot 2} - \frac{1}{4} \cdot 0 - \frac{1}{2} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

Этап 22.5.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{8} (2 π + \frac{1}{2} (\sin (4 π) - \sin (0))) + \frac{π}{2} - \frac{1}{4} \cdot 0 - \frac{1}{2} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

Этап 22.5.5

Умножим $0$ на $- 1$ .

$\frac{1}{8} (2 π + \frac{1}{2} (\sin (4 π) - \sin (0))) + \frac{π}{2} + 0 (\frac{1}{4}) - \frac{1}{2} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

Этап 22.5.6

Умножим $0$ на $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{8} (2 π + \frac{1}{2} (\sin (4 π) - \sin (0))) + \frac{π}{2} + 0 - \frac{1}{2} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

Этап 22.5.7

Добавим $\frac{π}{2}$ и $0$ .

$\frac{1}{8} (2 π + \frac{1}{2} (\sin (4 π) - \sin (0))) + \frac{π}{2} - \frac{1}{2} (\sin (2 π) - \sin (0))$

Этап 23

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.1

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{1}{8} (2 π + \frac{1}{2} (\sin (4 π) - 0)) + \frac{π}{2} - \frac{1}{2} (\sin (2 π) - \sin (0))$

Этап 23.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{1}{8} (2 π + \frac{1}{2} (\sin (4 π) - 0)) + \frac{π}{2} - \frac{1}{2} (\sin (2 π) - 0)$

Этап 23.3

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{1}{8} (2 π + \frac{1}{2} (\sin (4 π) + 0)) + \frac{π}{2} - \frac{1}{2} (\sin (2 π) - 0)$

Этап 23.4

Добавим $\sin (4 π)$ и $0$ .

$\frac{1}{8} (2 π + \frac{1}{2} \sin (4 π)) + \frac{π}{2} - \frac{1}{2} (\sin (2 π) - 0)$

Этап 23.5

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\sin (4 π)$ .

$\frac{1}{8} (2 π + \frac{\sin (4 π)}{2}) + \frac{π}{2} - \frac{1}{2} (\sin (2 π) - 0)$

Этап 23.6

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{1}{8} (2 π + \frac{\sin (4 π)}{2}) + \frac{π}{2} - \frac{1}{2} (\sin (2 π) + 0)$

Этап 23.7

Добавим $\sin (2 π)$ и $0$ .

$\frac{1}{8} (2 π + \frac{\sin (4 π)}{2}) + \frac{π}{2} - \frac{1}{2} \sin (2 π)$

Этап 23.8

Объединим $\sin (2 π)$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8} (2 π + \frac{\sin (4 π)}{2}) + \frac{π}{2} - \frac{\sin (2 π)}{2}$

Этап 23.9

Чтобы записать $\frac{1}{8} (2 π + \frac{\sin (4 π)}{2})$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{8} (2 π + \frac{\sin (4 π)}{2}) \cdot \frac{2}{2} - \frac{\sin (2 π)}{2} + \frac{π}{2}$

Этап 23.10

Объединим $\frac{1}{8} (2 π + \frac{\sin (4 π)}{2})$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{8} (2 π + \frac{\sin (4 π)}{2}) \cdot 2}{2} - \frac{\sin (2 π)}{2} + \frac{π}{2}$

Этап 23.11

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{1}{8} (2 π + \frac{\sin (4 π)}{2}) \cdot 2 - \sin (2 π)}{2} + \frac{π}{2}$

Этап 23.12

Объединим $2$ и $\frac{1}{8}$ .

$\frac{\frac{2}{8} (2 π + \frac{\sin (4 π)}{2}) - \sin (2 π)}{2} + \frac{π}{2}$

Этап 23.13

Сократим общий множитель $2$ и $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.13.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{\frac{2 (1)}{8} (2 π + \frac{\sin (4 π)}{2}) - \sin (2 π)}{2} + \frac{π}{2}$

Этап 23.13.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.13.2.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4} (2 π + \frac{\sin (4 π)}{2}) - \sin (2 π)}{2} + \frac{π}{2}$

Этап 23.13.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4} (2 π + \frac{\sin (4 π)}{2}) - \sin (2 π)}{2} + \frac{π}{2}$

Этап 23.13.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{1}{4} (2 π + \frac{\sin (4 π)}{2}) - \sin (2 π)}{2} + \frac{π}{2}$

Этап 24

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.1.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.1.1.1

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$\frac{\frac{1}{4} (2 π + \frac{\sin (0)}{2}) - \sin (2 π)}{2} + \frac{π}{2}$

Этап 24.1.1.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{\frac{1}{4} (2 π + \frac{0}{2}) - \sin (2 π)}{2} + \frac{π}{2}$

Этап 24.1.2

Разделим $0$ на $2$ .

$\frac{\frac{1}{4} (2 π + 0) - \sin (2 π)}{2} + \frac{π}{2}$

Этап 24.2

Добавим $2 π$ и $0$ .

$\frac{\frac{1}{4} (2 π) - \sin (2 π)}{2} + \frac{π}{2}$

Этап 24.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.3.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{\frac{1}{2 (2)} (2 π) - \sin (2 π)}{2} + \frac{π}{2}$

Этап 24.3.2

Вынесем множитель $2$ из $2 π$ .

$\frac{\frac{1}{2 (2)} (2 (π)) - \sin (2 π)}{2} + \frac{π}{2}$

Этап 24.3.3

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{1}{2 \cdot 2} (2 π) - \sin (2 π)}{2} + \frac{π}{2}$

Этап 24.3.4

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{1}{2} π - \sin (2 π)}{2} + \frac{π}{2}$

Этап 24.4

Объединим $\frac{1}{2}$ и $π$ .

$\frac{\frac{π}{2} - \sin (2 π)}{2} + \frac{π}{2}$

Этап 24.5

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$\frac{\frac{π}{2} - \sin (0)}{2} + \frac{π}{2}$

Этап 24.6

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{\frac{π}{2} - 0}{2} + \frac{π}{2}$

Этап 24.7

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{\frac{π}{2} + 0}{2} + \frac{π}{2}$

Этап 24.8

Добавим $\frac{π}{2}$ и $0$ .

$\frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{π}{2}$

Этап 24.9

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{π}{2}$

Этап 24.10

Умножим $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.10.1

Умножим $\frac{π}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{π}{2 \cdot 2} + \frac{π}{2}$

Этап 24.10.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{π}{4} + \frac{π}{2}$

Этап 24.11

Чтобы записать $\frac{π}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π}{4} + \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 24.12

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.12.1

Умножим $\frac{π}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π}{4} + \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Этап 24.12.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{π}{4} + \frac{π \cdot 2}{4}$

Этап 24.13

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{π + π \cdot 2}{4}$

Этап 24.14

Добавим $π$ и $π \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.14.1

Изменим порядок $π$ и $2$ .

$\frac{π + 2 \cdot π}{4}$

Этап 24.14.2

Добавим $π$ и $2 \cdot π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Этап 25

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{3 π}{4}$

Десятичная форма:

$2.35619449 \dots$