Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{π} 1 - x \cos (x) d x$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{π} d x + \int_{0}^{π} - x \cos (x) d x$

Этап 2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$x]_{0}^{π} + \int_{0}^{π} - x \cos (x) d x$

Этап 3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$x]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} x \cos (x) d x$

Этап 4

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = \cos (x)$ .

$x]_{0}^{π} - (x \sin (x)]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} \sin (x) d x)$

Этап 5

Интеграл $\sin (x)$ по $x$ имеет вид $- \cos (x)$ .

$x]_{0}^{π} - (x \sin (x)]_{0}^{π} - (- \cos (x)]_{0}^{π}))$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Найдем значение $x$ в $π$ и в $0$ .

$(π) + 0 - (x \sin (x)]_{0}^{π} - (- \cos (x)]_{0}^{π}))$

Этап 6.1.2

Найдем значение $x \sin (x)$ в $π$ и в $0$ .

$(π) + 0 - ((π \sin (π)) + 0 \sin (0) - (- \cos (x)]_{0}^{π}))$

Этап 6.1.3

Найдем значение $- \cos (x)$ в $π$ и в $0$ .

$π + 0 - ((π \sin (π)) + 0 \sin (0) - (- \cos (π) + \cos (0)))$

Этап 6.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.1

Добавим $π$ и $0$ .

$π - ((π \sin (π)) + 0 \sin (0) - (- \cos (π) + \cos (0)))$

Этап 6.1.4.2

Умножим $0$ на $\sin (0)$ .

$π - (π \sin (π) + 0 - (- \cos (π) + \cos (0)))$

Этап 6.1.4.3

Добавим $π \sin (π)$ и $0$ .

$π - (π \sin (π) - (- \cos (π) + \cos (0)))$

Этап 6.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$π - (π \sin (π) - (- \cos (π) + 1))$

Этап 6.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$π - (π \sin (0) - (- \cos (π) + 1))$

Этап 6.3.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$π - (π \cdot 0 - (- \cos (π) + 1))$

Этап 6.3.3

Умножим $π$ на $0$ .

$π - (0 - (- \cos (π) + 1))$

Этап 6.3.4

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$π - (0 - (- - \cos (0) + 1))$

Этап 6.3.5

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$π - (0 - (- (- 1 \cdot 1) + 1))$

Этап 6.3.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$π - (0 - (- - 1 + 1))$

Этап 6.3.7

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$π - (0 - (1 + 1))$

Этап 6.3.8

Добавим $1$ и $1$ .

$π - (0 - 1 \cdot 2)$

Этап 6.3.9

Умножим $- 1$ на $2$ .

$π - (0 - 2)$

Этап 6.3.10

Вычтем $2$ из $0$ .

$π - - 2$

Этап 6.3.11

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$π + 2$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$π + 2$

Десятичная форма:

$5.14159265 \dots$