Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{π} 2 \cos (2 x) d x$

Этап 1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int_{0}^{π} \cos (2 x) d x$

Этап 2

Пусть $u = 2 x$ . Тогда $d u = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = 2 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 2.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 2.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 2.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Этап 2.3

Умножим $2$ на $0$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 2.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 π$

Этап 2.5

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2 π$

Этап 2.6

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$2 \int_{0}^{2 π} \cos (u) \frac{1}{2} d u$

Этап 3

Объединим $\cos (u)$ и $\frac{1}{2}$ .

$2 \int_{0}^{2 π} \frac{\cos (u)}{2} d u$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$2 (\frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} \cos (u) d u)$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{2}{2} \int_{0}^{2 π} \cos (u) d u$

Этап 5.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{2} \int_{0}^{2 π} \cos (u) d u$

Этап 5.2.2

Перепишем это выражение.

$1 \int_{0}^{2 π} \cos (u) d u$

Этап 5.3

Умножим $\int_{0}^{2 π} \cos (u) d u$ на $1$ .

$\int_{0}^{2 π} \cos (u) d u$

Этап 6

Интеграл $\cos (u)$ по $u$ имеет вид $\sin (u)$ .

$\sin (u)]_{0}^{2 π}$

Этап 7

Найдем значение $\sin (u)$ в $2 π$ и в $0$ .

$\sin (2 π) - \sin (0)$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\sin (2 π) - 0$

Этап 8.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\sin (2 π) + 0$

Этап 8.3

Добавим $\sin (2 π)$ и $0$ .

$\sin (2 π)$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$\sin (0)$

Этап 9.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$0$