Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (2 x) d x$

Этап 1

Пусть $u_{1} = 2 x$ . Тогда $d u_{1} = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u_{1} = 2 x$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 1.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 1.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u_{1} = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Этап 1.3

Умножим $2$ на $0$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u_{1} = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 π$

Этап 1.5

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2 π$

Этап 1.6

Переформулируем задачу, используя $u_{1}$ , $d u_{1}$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{0}^{2 π} \sin^{2} (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 2

Объединим $\sin^{2} (u_{1})$ и $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{2 π} \frac{\sin^{2} (u_{1})}{2} d u_{1}$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Этап 4

Используем формулу половинного угла для записи $\sin^{2} (u_{1})$ в виде $\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} \frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

Этап 5

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} \int_{0}^{2 π} 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Этап 6.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{1}{4} \int_{0}^{2 π} 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Этап 7

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{4} (\int_{0}^{2 π} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Этап 8

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{4} (u_{1}]_{0}^{2 π} + \int_{0}^{2 π} - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Этап 9

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} (u_{1}]_{0}^{2 π} - \int_{0}^{2 π} \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Этап 10

Пусть $u_{2} = 2 u_{1}$ . Тогда $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Пусть $u_{2} = 2 u_{1}$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Дифференцируем $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Этап 10.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $u_{1}$ , производная $2 u_{1}$ по $u_{1}$ равна $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Этап 10.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 10.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 10.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $u_{1}$ в $u_{2} = 2 u_{1}$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Этап 10.3

Умножим $2$ на $0$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 10.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $u_{1}$ в $u_{2} = 2 u_{1}$ .

$u_{upper} = 2 (2 π)$

Этап 10.5

Умножим $2$ на $2$ .

$u_{upper} = 4 π$

Этап 10.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 4 π$

Этап 10.7

Переформулируем задачу, используя $u_{2}$ , $d u_{2}$ и новые пределы интегрирования.

$\frac{1}{4} (u_{1}]_{0}^{2 π} - \int_{0}^{4 π} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Этап 11

Объединим $\cos (u_{2})$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} (u_{1}]_{0}^{2 π} - \int_{0}^{4 π} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Этап 12

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} (u_{1}]_{0}^{2 π} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{4 π} \cos (u_{2}) d u_{2}))$

Этап 13

Интеграл $\cos (u_{2})$ по $u_{2}$ имеет вид $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{4} (u_{1}]_{0}^{2 π} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{4 π})$

Этап 14

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Найдем значение $u_{1}$ в $2 π$ и в $0$ .

$\frac{1}{4} ((2 π) + 0 - \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{4 π})$

Этап 14.2

Найдем значение $\sin (u_{2})$ в $4 π$ и в $0$ .

$\frac{1}{4} ((2 π) + 0 - \frac{1}{2} ((\sin (4 π)) - \sin (0)))$

Этап 14.3

Добавим $2 π$ и $0$ .

$\frac{1}{4} (2 π - \frac{1}{2} (\sin (4 π) - \sin (0)))$

Этап 15

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{1}{4} (2 π - \frac{1}{2} (\sin (4 π) - 0))$

Этап 15.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{1}{4} (2 π - \frac{1}{2} (\sin (4 π) + 0))$

Этап 15.3

Добавим $\sin (4 π)$ и $0$ .

$\frac{1}{4} (2 π - \frac{1}{2} \sin (4 π))$

Этап 15.4

Объединим $\sin (4 π)$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} (2 π - \frac{\sin (4 π)}{2})$

Этап 16

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1.1

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$\frac{1}{4} (2 π - \frac{\sin (0)}{2})$

Этап 16.1.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{1}{4} (2 π - \frac{0}{2})$

Этап 16.2

Разделим $0$ на $2$ .

$\frac{1}{4} (2 π - 0)$

Этап 16.3

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{1}{4} (2 π + 0)$

Этап 16.4

Добавим $2 π$ и $0$ .

$\frac{1}{4} (2 π)$

Этап 16.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.5.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{1}{2 (2)} (2 π)$

Этап 16.5.2

Вынесем множитель $2$ из $2 π$ .

$\frac{1}{2 (2)} (2 (π))$

Этап 16.5.3

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2 \cdot 2} (2 π)$

Этап 16.5.4

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} π$

Этап 16.6

Объединим $\frac{1}{2}$ и $π$ .

$\frac{π}{2}$

Этап 17

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{π}{2}$

Десятичная форма:

$1.57079632 \dots$