Математический анализ Примеры

$\ln (x^{4} + 27)$

Этап 1

Запишем $\ln (x^{4} + 27)$ в виде функции.

$f (x) = \ln (x^{4} + 27)$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = x^{4} + 27$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{4} + 27$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]$

Этап 2.1.1.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]$

Этап 2.1.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{4} + 27$ .

$\frac{1}{x^{4} + 27} \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

По правилу суммы производная $x^{4} + 27$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$\frac{1}{x^{4} + 27} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [27])$

Этап 2.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$\frac{1}{x^{4} + 27} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [27])$

Этап 2.1.2.3

Поскольку $27$ является константой относительно $x$ , производная $27$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{x^{4} + 27} (4 x^{3} + 0)$

Этап 2.1.2.4

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.4.1

Добавим $4 x^{3}$ и $0$ .

$\frac{1}{x^{4} + 27} (4 x^{3})$

Этап 2.1.2.4.2

Объединим $4$ и $\frac{1}{x^{4} + 27}$ .

$\frac{4}{x^{4} + 27} x^{3}$

Этап 2.1.2.4.3

Объединим $\frac{4}{x^{4} + 27}$ и $x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27}$

Этап 2.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{x^{4} + 27}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{x^{4} + 27}]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = x^{4} + 27$ .

$4 \frac{(x^{4} + 27) \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 2.2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$4 \frac{(x^{4} + 27) (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 2.2.3.2

Перенесем $3$ влево от $x^{4} + 27$ .

$4 \frac{3 \cdot (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 2.2.3.3

По правилу суммы производная $x^{4} + 27$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [27])}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 2.2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [27])}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 2.2.3.5

Поскольку $27$ является константой относительно $x$ , производная $27$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (4 x^{3} + 0)}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 2.2.3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.6.1

Добавим $4 x^{3}$ и $0$ .

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (4 x^{3})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 2.2.3.6.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{3} x^{3}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 2.2.4

Умножим $x^{3}$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Перенесем $x^{3}$ .

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 (x^{3} x^{3})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 2.2.4.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{3 + 3}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 2.2.4.3

Добавим $3$ и $3$ .

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{6}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 2.2.5

Объединим $4$ и $\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{6}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$ .

$\frac{4 (3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 2.2.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 ((3 x^{4} + 3 \cdot 27) x^{2} - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 2.2.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 (3 x^{4} x^{2} + 3 \cdot 27 x^{2} - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 2.2.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 (3 x^{4} x^{2}) + 4 (3 \cdot 27 x^{2}) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 2.2.6.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.4.1.1

Умножим $x^{4}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.4.1.1.1

Перенесем $x^{2}$ .

$\frac{4 (3 (x^{2} x^{4})) + 4 (3 \cdot 27 x^{2}) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 2.2.6.4.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{4 (3 x^{2 + 4}) + 4 (3 \cdot 27 x^{2}) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 2.2.6.4.1.1.3

Добавим $2$ и $4$ .

$\frac{4 (3 x^{6}) + 4 (3 \cdot 27 x^{2}) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 2.2.6.4.1.2

Умножим $3$ на $4$ .

$\frac{12 x^{6} + 4 (3 \cdot 27 x^{2}) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 2.2.6.4.1.3

Умножим $3$ на $27$ .

$\frac{12 x^{6} + 4 (81 x^{2}) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 2.2.6.4.1.4

Умножим $81$ на $4$ .

$\frac{12 x^{6} + 324 x^{2} + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 2.2.6.4.1.5

Умножим $- 4$ на $4$ .

$\frac{12 x^{6} + 324 x^{2} - 16 x^{6}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 2.2.6.4.2

Вычтем $16 x^{6}$ из $12 x^{6}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{6} + 324 x^{2}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 2.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{- 4 x^{6} + 324 x^{2}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$ .

$\frac{- 4 x^{6} + 324 x^{2}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 3

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{- 4 x^{6} + 324 x^{2}}{{(x^{4} + 27)}^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$\frac{- 4 x^{6} + 324 x^{2}}{{(x^{4} + 27)}^{2}} = 0$

Этап 3.2

Приравняем числитель к нулю.

$- 4 x^{6} + 324 x^{2} = 0$

Этап 3.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Вынесем множитель $- 4 x^{2}$ из $- 4 x^{6} + 324 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1

Вынесем множитель $- 4 x^{2}$ из $- 4 x^{6}$ .

$- 4 x^{2} x^{4} + 324 x^{2} = 0$

Этап 3.3.1.1.2

Вынесем множитель $- 4 x^{2}$ из $324 x^{2}$ .

$- 4 x^{2} x^{4} - 4 x^{2} \cdot - 81 = 0$

Этап 3.3.1.1.3

Вынесем множитель $- 4 x^{2}$ из $- 4 x^{2} (x^{4}) - 4 x^{2} (- 81)$ .

$- 4 x^{2} (x^{4} - 81) = 0$

Этап 3.3.1.2

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 4 x^{2} ({(x^{2})}^{2} - 81) = 0$

Этап 3.3.1.3

Перепишем $81$ в виде $9^{2}$ .

$- 4 x^{2} ({(x^{2})}^{2} - 9^{2}) = 0$

Этап 3.3.1.4

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x^{2}$ и $b = 9$ .

$- 4 x^{2} ((x^{2} + 9) (x^{2} - 9)) = 0$

Этап 3.3.1.5

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.5.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.5.1.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$- 4 x^{2} ((x^{2} + 9) (x^{2} - 3^{2})) = 0$

Этап 3.3.1.5.1.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.5.1.2.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 3$ .

$- 4 x^{2} ((x^{2} + 9) ((x + 3) (x - 3))) = 0$

Этап 3.3.1.5.1.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- 4 x^{2} ((x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)) = 0$

Этап 3.3.1.5.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- 4 x^{2} (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) = 0$

Этап 3.3.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{2} = 0$

$x^{2} + 9 = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

Этап 3.3.3

Приравняем $x^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Приравняем $x^{2}$ к $0$ .

$x^{2} = 0$

Этап 3.3.3.2

Решим $x^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 3.3.3.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 3.3.3.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 3.3.3.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 3.3.4

Приравняем $x^{2} + 9$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

Приравняем $x^{2} + 9$ к $0$ .

$x^{2} + 9 = 0$

Этап 3.3.4.2

Решим $x^{2} + 9 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.2.1

Вычтем $9$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} = - 9$

Этап 3.3.4.2.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{- 9}$

Этап 3.3.4.2.3

Упростим $\pm \sqrt{- 9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.2.3.1

Перепишем $- 9$ в виде $- 1 (9)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (9)}$

Этап 3.3.4.2.3.2

Перепишем $\sqrt{- 1 (9)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$

Этап 3.3.4.2.3.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{9}$

Этап 3.3.4.2.3.4

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2}}$

Этап 3.3.4.2.3.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm i \cdot 3$

Этап 3.3.4.2.3.6

Перенесем $3$ влево от $i$ .

$x = \pm 3 i$

Этап 3.3.4.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 3 i$

Этап 3.3.4.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 3 i$

Этап 3.3.4.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 3 i, - 3 i$

Этап 3.3.5

Приравняем $x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 3.3.5.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 3.3.6

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 3.3.6.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 3.3.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $- 4 x^{2} (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) = 0$ верно.

$x = 0, 3 i, - 3 i, - 3, 3$

Этап 4

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $0$ в $f (x) = \ln (x^{4} + 27)$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = \ln ({(0)}^{4} + 27)$

Этап 4.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = \ln (0 + 27)$

Этап 4.1.2.2

Добавим $0$ и $27$ .

$f (0) = \ln (27)$

Этап 4.1.2.3

Окончательный ответ: $\ln (27)$ .

$\ln (27)$

Этап 4.2

Подставляя $0$ в $f (x) = \ln (x^{4} + 27)$ , найдем точку $(0, \ln (27))$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(0, \ln (27))$

Этап 4.3

Подставим $- 3$ в $f (x) = \ln (x^{4} + 27)$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 3$ .

$f (- 3) = \ln ({(- 3)}^{4} + 27)$

Этап 4.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Возведем $- 3$ в степень $4$ .

$f (- 3) = \ln (81 + 27)$

Этап 4.3.2.2

Добавим $81$ и $27$ .

$f (- 3) = \ln (108)$

Этап 4.3.2.3

Окончательный ответ: $\ln (108)$ .

$\ln (108)$

Этап 4.4

Подставляя $- 3$ в $f (x) = \ln (x^{4} + 27)$ , найдем точку $(- 3, \ln (108))$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(- 3, \ln (108))$

Этап 4.5

Подставим $3$ в $f (x) = \ln (x^{4} + 27)$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$f (3) = \ln ({(3)}^{4} + 27)$

Этап 4.5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1

Возведем $3$ в степень $4$ .

$f (3) = \ln (81 + 27)$

Этап 4.5.2.2

Добавим $81$ и $27$ .

$f (3) = \ln (108)$

Этап 4.5.2.3

Окончательный ответ: $\ln (108)$ .

$\ln (108)$

Этап 4.6

Подставляя $3$ в $f (x) = \ln (x^{4} + 27)$ , найдем точку $(3, \ln (108))$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(3, \ln (108))$

Этап 4.7

Определим точки, которые могут быть точками перегиба.

$(0, \ln (27)), (- 3, \ln (108)), (3, \ln (108))$

Этап 5

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, 3) \cup (3, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, - 3)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 3.1$ .

$f'' (- 3.1) = \frac{- 4 {(- 3.1)}^{6} + 324 {(- 3.1)}^{2}}{{({(- 3.1)}^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведем $- 3.1$ в степень $6$ .

$f'' (- 3.1) = \frac{- 4 \cdot 887.503681 + 324 {(- 3.1)}^{2}}{{({(- 3.1)}^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 6.2.1.2

Умножим $- 4$ на $887.503681$ .

$f'' (- 3.1) = \frac{- 3550.014724 + 324 {(- 3.1)}^{2}}{{({(- 3.1)}^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 6.2.1.3

Возведем $- 3.1$ в степень $2$ .

$f'' (- 3.1) = \frac{- 3550.014724 + 324 \cdot 9.61}{{({(- 3.1)}^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 6.2.1.4

Умножим $324$ на $9.61$ .

$f'' (- 3.1) = \frac{- 3550.014724 + 3113.64}{{({(- 3.1)}^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 6.2.1.5

Добавим $- 3550.014724$ и $3113.64$ .

$f'' (- 3.1) = \frac{- 436.374724}{{({(- 3.1)}^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 6.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Возведем $- 3.1$ в степень $4$ .

$f'' (- 3.1) = \frac{- 436.374724}{{(92.3521 + 27)}^{2}}$

Этап 6.2.2.2

Добавим $92.3521$ и $27$ .

$f'' (- 3.1) = \frac{- 436.374724}{{119.3521}^{2}}$

Этап 6.2.2.3

Возведем $119.3521$ в степень $2$ .

$f'' (- 3.1) = \frac{- 436.374724}{14244.92377441}$

Этап 6.2.3

Разделим $- 436.374724$ на $14244.92377441$ .

$f'' (- 3.1) = - 0.0306337$

Этап 6.2.4

Окончательный ответ: $- 0.0306337$ .

$- 0.0306337$

Этап 6.3

При $- 3.1$ вторая производная имеет вид $- 0.0306337$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(- \infty, - 3)$ .

Убывание на $(- \infty, - 3)$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(- 3, 0)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 4 {(- \frac{3}{2})}^{6} + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 4 ({(- 1)}^{6} {(\frac{3}{2})}^{6}) + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 7.2.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 4 ({(- 1)}^{6} (\frac{3^{6}}{2^{6}})) + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 7.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $6$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 4 (1 (\frac{3^{6}}{2^{6}})) + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 7.2.1.3

Умножим $\frac{3^{6}}{2^{6}}$ на $1$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 4 \frac{3^{6}}{2^{6}} + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 7.2.1.4

Возведем $3$ в степень $6$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 4 \frac{729}{2^{6}} + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 7.2.1.5

Возведем $2$ в степень $6$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 4 (\frac{729}{64}) + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 7.2.1.6

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.6.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{4 (- 1) (\frac{729}{64}) + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 7.2.1.6.2

Вынесем множитель $4$ из $64$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{4 \cdot (- 1 \frac{729}{4 \cdot 16}) + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 7.2.1.6.3

Сократим общий множитель.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{4 \cdot (- 1 \frac{729}{4 \cdot 16}) + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 7.2.1.6.4

Перепишем это выражение.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 1 (\frac{729}{16}) + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 7.2.1.7

Перепишем $- 1 (\frac{729}{16})$ в виде $- (\frac{729}{16})$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- (\frac{729}{16}) + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 7.2.1.8

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.8.1

Применим правило умножения к $- \frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 324 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2})}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 7.2.1.8.2

Применим правило умножения к $\frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 324 ({(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{2^{2}}))}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 7.2.1.9

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 324 (1 (\frac{3^{2}}{2^{2}}))}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 7.2.1.10

Умножим $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ на $1$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 324 (\frac{3^{2}}{2^{2}})}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 7.2.1.11

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 324 (\frac{9}{2^{2}})}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 7.2.1.12

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 324 (\frac{9}{4})}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 7.2.1.13

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.13.1

Вынесем множитель $4$ из $324$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 4 (81) (\frac{9}{4})}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 7.2.1.13.2

Сократим общий множитель.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 4 \cdot (81 (\frac{9}{4}))}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 7.2.1.13.3

Перепишем это выражение.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 81 \cdot 9}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 7.2.1.14

Умножим $81$ на $9$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 729}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 7.2.1.15

Чтобы записать $729$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{16}{16}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 729 \cdot \frac{16}{16}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 7.2.1.16

Объединим $729$ и $\frac{16}{16}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + \frac{729 \cdot 16}{16}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 7.2.1.17

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{- 729 + 729 \cdot 16}{16}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 7.2.1.18

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.18.1

Умножим $729$ на $16$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{- 729 + 11664}{16}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 7.2.1.18.2

Добавим $- 729$ и $11664$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 7.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{({(- 1)}^{4} {(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 7.2.2.1.2

Применим правило умножения к $\frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{({(- 1)}^{4} (\frac{3^{4}}{2^{4}}) + 27)}^{2}}$

Этап 7.2.2.2

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(1 (\frac{3^{4}}{2^{4}}) + 27)}^{2}}$

Этап 7.2.2.3

Умножим $\frac{3^{4}}{2^{4}}$ на $1$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{3^{4}}{2^{4}} + 27)}^{2}}$

Этап 7.2.2.4

Возведем $3$ в степень $4$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81}{2^{4}} + 27)}^{2}}$

Этап 7.2.2.5

Возведем $2$ в степень $4$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81}{16} + 27)}^{2}}$

Этап 7.2.2.6

Чтобы записать $27$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{16}{16}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81}{16} + 27 \cdot \frac{16}{16})}^{2}}$

Этап 7.2.2.7

Объединим $27$ и $\frac{16}{16}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81}{16} + \frac{27 \cdot 16}{16})}^{2}}$

Этап 7.2.2.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81 + 27 \cdot 16}{16})}^{2}}$

Этап 7.2.2.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.9.1

Умножим $27$ на $16$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81 + 432}{16})}^{2}}$

Этап 7.2.2.9.2

Добавим $81$ и $432$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{513}{16})}^{2}}$

Этап 7.2.2.10

Применим правило умножения к $\frac{513}{16}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{\frac{513^{2}}{16^{2}}}$

Этап 7.2.2.11

Возведем $513$ в степень $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{\frac{263169}{16^{2}}}$

Этап 7.2.2.12

Возведем $16$ в степень $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{\frac{263169}{256}}$

Этап 7.2.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{10935}{16} \cdot \frac{256}{263169}$

Этап 7.2.4

Сократим общий множитель $729$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.1

Вынесем множитель $729$ из $10935$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{729 (15)}{16} \cdot \frac{256}{263169}$

Этап 7.2.4.2

Вынесем множитель $729$ из $263169$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{729 \cdot 15}{16} \cdot \frac{256}{729 \cdot 361}$

Этап 7.2.4.3

Сократим общий множитель.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{729 \cdot 15}{16} \cdot \frac{256}{729 \cdot 361}$

Этап 7.2.4.4

Перепишем это выражение.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{15}{16} \cdot \frac{256}{361}$

Этап 7.2.5

Сократим общий множитель $16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.5.1

Вынесем множитель $16$ из $256$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{15}{16} \cdot \frac{16 (16)}{361}$

Этап 7.2.5.2

Сократим общий множитель.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{15}{16} \cdot \frac{16 \cdot 16}{361}$

Этап 7.2.5.3

Перепишем это выражение.

$f'' (- \frac{3}{2}) = 15 (\frac{16}{361})$

Этап 7.2.6

Объединим $15$ и $\frac{16}{361}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{15 \cdot 16}{361}$

Этап 7.2.7

Умножим $15$ на $16$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{240}{361}$

Этап 7.2.8

Окончательный ответ: $\frac{240}{361}$ .

$\frac{240}{361}$

Этап 7.3

При $- \frac{3}{2}$ вторая производная имеет вид $0.66481994$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(- 3, 0)$ .

Возрастание в области $(- 3, 0)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 8

Подставим значение из интервала $(0, 3)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{3}{2}$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- 4 {(\frac{3}{2})}^{6} + 324 {(\frac{3}{2})}^{2}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{3}{2}$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- 4 \frac{3^{6}}{2^{6}} + 324 {(\frac{3}{2})}^{2}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 8.2.1.2

Возведем $3$ в степень $6$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- 4 \frac{729}{2^{6}} + 324 {(\frac{3}{2})}^{2}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 8.2.1.3

Возведем $2$ в степень $6$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- 4 (\frac{729}{64}) + 324 {(\frac{3}{2})}^{2}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 8.2.1.4

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{4 (- 1) (\frac{729}{64}) + 324 {(\frac{3}{2})}^{2}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 8.2.1.4.2

Вынесем множитель $4$ из $64$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{4 \cdot (- 1 \frac{729}{4 \cdot 16}) + 324 {(\frac{3}{2})}^{2}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 8.2.1.4.3

Сократим общий множитель.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{4 \cdot (- 1 \frac{729}{4 \cdot 16}) + 324 {(\frac{3}{2})}^{2}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 8.2.1.4.4

Перепишем это выражение.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- 1 (\frac{729}{16}) + 324 {(\frac{3}{2})}^{2}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 8.2.1.5

Перепишем $- 1 (\frac{729}{16})$ в виде $- (\frac{729}{16})$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- (\frac{729}{16}) + 324 {(\frac{3}{2})}^{2}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 8.2.1.6

Применим правило умножения к $\frac{3}{2}$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 324 (\frac{3^{2}}{2^{2}})}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 8.2.1.7

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 324 (\frac{9}{2^{2}})}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 8.2.1.8

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 324 (\frac{9}{4})}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 8.2.1.9

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.9.1

Вынесем множитель $4$ из $324$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 4 (81) (\frac{9}{4})}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 8.2.1.9.2

Сократим общий множитель.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 4 \cdot (81 (\frac{9}{4}))}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 8.2.1.9.3

Перепишем это выражение.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 81 \cdot 9}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 8.2.1.10

Умножим $81$ на $9$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 729}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 8.2.1.11

Чтобы записать $729$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{16}{16}$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 729 \cdot \frac{16}{16}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 8.2.1.12

Объединим $729$ и $\frac{16}{16}$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + \frac{729 \cdot 16}{16}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 8.2.1.13

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{- 729 + 729 \cdot 16}{16}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 8.2.1.14

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.14.1

Умножим $729$ на $16$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{- 729 + 11664}{16}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 8.2.1.14.2

Добавим $- 729$ и $11664$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 8.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Применим правило умножения к $\frac{3}{2}$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{3^{4}}{2^{4}} + 27)}^{2}}$

Этап 8.2.2.2

Возведем $3$ в степень $4$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81}{2^{4}} + 27)}^{2}}$

Этап 8.2.2.3

Возведем $2$ в степень $4$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81}{16} + 27)}^{2}}$

Этап 8.2.2.4

Чтобы записать $27$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{16}{16}$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81}{16} + 27 \cdot \frac{16}{16})}^{2}}$

Этап 8.2.2.5

Объединим $27$ и $\frac{16}{16}$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81}{16} + \frac{27 \cdot 16}{16})}^{2}}$

Этап 8.2.2.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81 + 27 \cdot 16}{16})}^{2}}$

Этап 8.2.2.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.7.1

Умножим $27$ на $16$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81 + 432}{16})}^{2}}$

Этап 8.2.2.7.2

Добавим $81$ и $432$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{513}{16})}^{2}}$

Этап 8.2.2.8

Применим правило умножения к $\frac{513}{16}$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{\frac{513^{2}}{16^{2}}}$

Этап 8.2.2.9

Возведем $513$ в степень $2$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{\frac{263169}{16^{2}}}$

Этап 8.2.2.10

Возведем $16$ в степень $2$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{\frac{263169}{256}}$

Этап 8.2.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{10935}{16} \cdot \frac{256}{263169}$

Этап 8.2.4

Сократим общий множитель $729$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.1

Вынесем множитель $729$ из $10935$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{729 (15)}{16} \cdot \frac{256}{263169}$

Этап 8.2.4.2

Вынесем множитель $729$ из $263169$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{729 \cdot 15}{16} \cdot \frac{256}{729 \cdot 361}$

Этап 8.2.4.3

Сократим общий множитель.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{729 \cdot 15}{16} \cdot \frac{256}{729 \cdot 361}$

Этап 8.2.4.4

Перепишем это выражение.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{15}{16} \cdot \frac{256}{361}$

Этап 8.2.5

Сократим общий множитель $16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.5.1

Вынесем множитель $16$ из $256$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{15}{16} \cdot \frac{16 (16)}{361}$

Этап 8.2.5.2

Сократим общий множитель.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{15}{16} \cdot \frac{16 \cdot 16}{361}$

Этап 8.2.5.3

Перепишем это выражение.

$f'' (\frac{3}{2}) = 15 (\frac{16}{361})$

Этап 8.2.6

Объединим $15$ и $\frac{16}{361}$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{15 \cdot 16}{361}$

Этап 8.2.7

Умножим $15$ на $16$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{240}{361}$

Этап 8.2.8

Окончательный ответ: $\frac{240}{361}$ .

$\frac{240}{361}$

Этап 8.3

При $\frac{3}{2}$ вторая производная имеет вид $0.66481994$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(0, 3)$ .

Возрастание в области $(0, 3)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 9

Подставим значение из интервала $(3, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3.1$ .

$f'' (3.1) = \frac{- 4 {(3.1)}^{6} + 324 {(3.1)}^{2}}{{({(3.1)}^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 9.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1

Возведем $3.1$ в степень $6$ .

$f'' (3.1) = \frac{- 4 \cdot 887.503681 + 324 \cdot {3.1}^{2}}{{({3.1}^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 9.2.1.2

Умножим $- 4$ на $887.503681$ .

$f'' (3.1) = \frac{- 3550.014724 + 324 \cdot {3.1}^{2}}{{({3.1}^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 9.2.1.3

Возведем $3.1$ в степень $2$ .

$f'' (3.1) = \frac{- 3550.014724 + 324 \cdot 9.61}{{({3.1}^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 9.2.1.4

Умножим $324$ на $9.61$ .

$f'' (3.1) = \frac{- 3550.014724 + 3113.64}{{({3.1}^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 9.2.1.5

Добавим $- 3550.014724$ и $3113.64$ .

$f'' (3.1) = \frac{- 436.374724}{{({3.1}^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 9.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Возведем $3.1$ в степень $4$ .

$f'' (3.1) = \frac{- 436.374724}{{(92.3521 + 27)}^{2}}$

Этап 9.2.2.2

Добавим $92.3521$ и $27$ .

$f'' (3.1) = \frac{- 436.374724}{{119.3521}^{2}}$

Этап 9.2.2.3

Возведем $119.3521$ в степень $2$ .

$f'' (3.1) = \frac{- 436.374724}{14244.92377441}$

Этап 9.2.3

Разделим $- 436.374724$ на $14244.92377441$ .

$f'' (3.1) = - 0.0306337$

Этап 9.2.4

Окончательный ответ: $- 0.0306337$ .

$- 0.0306337$

Этап 9.3

При $3.1$ вторая производная имеет вид $- 0.0306337$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(3, \infty)$ .

Убывание на $(3, \infty)$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 10

Точка перегиба — это точка на кривой, в которой вогнутость меняет знак с плюса на минус или с минуса на плюс. Точки перегиба в данном случае: $(- 3, \ln (108)), (3, \ln (108))$ .

$(- 3, \ln (108)), (3, \ln (108))$

Этап 11