Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{π} 5 {(5 - 4 \cos (t))}^{\frac{1}{4}} \sin (t) d t$

Этап 1

Поскольку $5$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$5 \int_{0}^{π} {(5 - 4 \cos (t))}^{\frac{1}{4}} \sin (t) d t$

Этап 2

Пусть $u = 5 - 4 \cos (t)$ . Тогда $d u = 4 \sin (t) d t$ , следовательно $\frac{1}{4} d u = \sin (t) d t$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = 5 - 4 \cos (t)$ . Найдем $\frac{d u}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $5 - 4 \cos (t)$ .

$\frac{d}{d t} [5 - 4 \cos (t)]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

По правилу суммы производная $5 - 4 \cos (t)$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [5] + \frac{d}{d t} [- 4 \cos (t)]$ .

$\frac{d}{d t} [5] + \frac{d}{d t} [- 4 \cos (t)]$

Этап 2.1.2.2

Поскольку $5$ является константой относительно $t$ , производная $5$ относительно $t$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [- 4 \cos (t)]$

Этап 2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d t} [- 4 \cos (t)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $t$ , производная $- 4 \cos (t)$ по $t$ равна $- 4 \frac{d}{d t} [\cos (t)]$ .

$0 - 4 \frac{d}{d t} [\cos (t)]$

Этап 2.1.3.2

Производная $\cos (t)$ по $t$ равна $- \sin (t)$ .

$0 - 4 (- \sin (t))$

Этап 2.1.3.3

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$0 + 4 \sin (t)$

Этап 2.1.4

Добавим $0$ и $4 \sin (t)$ .

$4 \sin (t)$

Этап 2.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $t$ в $u = 5 - 4 \cos (t)$ .

$u_{lower} = 5 - 4 \cos (0)$

Этап 2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$u_{lower} = 5 - 4 \cdot 1$

Этап 2.3.1.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$u_{lower} = 5 - 4$

Этап 2.3.2

Вычтем $4$ из $5$ .

$u_{lower} = 1$

Этап 2.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $t$ в $u = 5 - 4 \cos (t)$ .

$u_{upper} = 5 - 4 \cos (π)$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$u_{upper} = 5 - 4 (- \cos (0))$

Этап 2.5.1.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$u_{upper} = 5 - 4 (- 1 \cdot 1)$

Этап 2.5.1.3

Умножим $- 4 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.3.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$u_{upper} = 5 - 4 \cdot - 1$

Этап 2.5.1.3.2

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$u_{upper} = 5 + 4$

Этап 2.5.2

Добавим $5$ и $4$ .

$u_{upper} = 9$

Этап 2.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 9$

Этап 2.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$5 \int_{1}^{9} u^{\frac{1}{4}} \frac{1}{4} d u$

Этап 3

Объединим $u^{\frac{1}{4}}$ и $\frac{1}{4}$ .

$5 \int_{1}^{9} \frac{u^{\frac{1}{4}}}{4} d u$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$5 (\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u^{\frac{1}{4}} d u)$

Этап 5

Объединим $\frac{1}{4}$ и $5$ .

$\frac{5}{4} \int_{1}^{9} u^{\frac{1}{4}} d u$

Этап 6

По правилу степени интеграл $u^{\frac{1}{4}}$ по $u$ имеет вид $\frac{4}{5} u^{\frac{5}{4}}$ .

$\frac{5}{4} \frac{4}{5} u^{\frac{5}{4}}]_{1}^{9}$

Этап 7

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем значение $\frac{4}{5} u^{\frac{5}{4}}$ в $9$ и в $1$ .

$\frac{5}{4} ((\frac{4}{5} \cdot 9^{\frac{5}{4}}) - \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

Этап 7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Объединим $\frac{4}{5}$ и $9^{\frac{5}{4}}$ .

$\frac{5}{4} (\frac{4 \cdot 9^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

Этап 7.2.2

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{5}{4} (\frac{4 \cdot 9^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{4}{5} \cdot 1)$

Этап 7.2.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{5}{4} (\frac{4 \cdot 9^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{4}{5})$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5}{4} \cdot \frac{4 \cdot 9^{\frac{5}{4}}}{5} + \frac{5}{4} (- \frac{4}{5})$

Этап 8.2

Объединим.

$\frac{5 (4 \cdot 9^{\frac{5}{4}})}{4 \cdot 5} + \frac{5}{4} (- \frac{4}{5})$

Этап 8.3

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{4}{5}$ в числитель.

$\frac{5 (4 \cdot 9^{\frac{5}{4}})}{4 \cdot 5} + \frac{5}{4} \cdot \frac{- 4}{5}$

Этап 8.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{5 (4 \cdot 9^{\frac{5}{4}})}{4 \cdot 5} + \frac{5}{4} \cdot \frac{- 4}{5}$

Этап 8.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{5 (4 \cdot 9^{\frac{5}{4}})}{4 \cdot 5} + \frac{1}{4} \cdot - 4$

Этап 8.4

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$\frac{5 (4 \cdot 9^{\frac{5}{4}})}{4 \cdot 5} + \frac{1}{4} \cdot (4 (- 1))$

Этап 8.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{5 (4 \cdot 9^{\frac{5}{4}})}{4 \cdot 5} + \frac{1}{4} \cdot (4 \cdot - 1)$

Этап 8.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{5 (4 \cdot 9^{\frac{5}{4}})}{4 \cdot 5} - 1$

Этап 8.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 (4 \cdot 9^{\frac{5}{4}})}{4 \cdot 5} - 1$

Этап 8.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{4 \cdot 9^{\frac{5}{4}}}{4} - 1$

Этап 8.5.3

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \cdot 9^{\frac{5}{4}}}{4} - 1$

Этап 8.5.4

Разделим $9^{\frac{5}{4}}$ на $1$ .

$9^{\frac{5}{4}} - 1$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$9^{\frac{5}{4}} - 1$

Десятичная форма:

$14.58845726 \dots$