Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{π} 7 \sin (x) + \sin (7 x) d x$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{π} 7 \sin (x) d x + \int_{0}^{π} \sin (7 x) d x$

Этап 2

Поскольку $7$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $7$ из-под знака интеграла.

$7 \int_{0}^{π} \sin (x) d x + \int_{0}^{π} \sin (7 x) d x$

Этап 3

Интеграл $\sin (x)$ по $x$ имеет вид $- \cos (x)$ .

$7 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \int_{0}^{π} \sin (7 x) d x$

Этап 4

Пусть $u = 7 x$ . Тогда $d u = 7 d x$ , следовательно $\frac{1}{7} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u = 7 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $7 x$ .

$\frac{d}{d x} [7 x]$

Этап 4.1.2

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7 x$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$7 \cdot 1$

Этап 4.1.4

Умножим $7$ на $1$ .

$7$

Этап 4.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = 7 x$ .

$u_{lower} = 7 \cdot 0$

Этап 4.3

Умножим $7$ на $0$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 4.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = 7 x$ .

$u_{upper} = 7 π$

Этап 4.5

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 7 π$

Этап 4.6

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$7 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \int_{0}^{7 π} \sin (u) \frac{1}{7} d u$

Этап 5

Объединим $\sin (u)$ и $\frac{1}{7}$ .

$7 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \int_{0}^{7 π} \frac{\sin (u)}{7} d u$

Этап 6

Поскольку $\frac{1}{7}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{7}$ из-под знака интеграла.

$7 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \frac{1}{7} \int_{0}^{7 π} \sin (u) d u$

Этап 7

Интеграл $\sin (u)$ по $u$ имеет вид $- \cos (u)$ .

$7 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \frac{1}{7} - \cos (u)]_{0}^{7 π}$

Этап 8

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем значение $- \cos (x)$ в $π$ и в $0$ .

$7 ((- \cos (π)) + \cos (0)) + \frac{1}{7} - \cos (u)]_{0}^{7 π}$

Этап 8.2

Найдем значение $- \cos (u)$ в $7 π$ и в $0$ .

$7 ((- \cos (π)) + \cos (0)) + \frac{1}{7} ((- \cos (7 π)) + \cos (0))$

Этап 8.3

Избавимся от скобок.

$7 (- \cos (π) + \cos (0)) + \frac{1}{7} (- \cos (7 π) + \cos (0))$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$7 (- \cos (π) + 1) + \frac{1}{7} (- \cos (7 π) + \cos (0))$

Этап 9.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$7 (- \cos (π) + 1) + \frac{1}{7} (- \cos (7 π) + 1)$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$7 (- - \cos (0) + 1) + \frac{1}{7} (- \cos (7 π) + 1)$

Этап 10.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$7 (- (- 1 \cdot 1) + 1) + \frac{1}{7} (- \cos (7 π) + 1)$

Этап 10.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$7 (- - 1 + 1) + \frac{1}{7} (- \cos (7 π) + 1)$

Этап 10.4

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$7 (1 + 1) + \frac{1}{7} (- \cos (7 π) + 1)$

Этап 10.5

Добавим $1$ и $1$ .

$7 \cdot 2 + \frac{1}{7} (- \cos (7 π) + 1)$

Этап 10.6

Умножим $7$ на $2$ .

$14 + \frac{1}{7} (- \cos (7 π) + 1)$

Этап 10.7

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$14 + \frac{1}{7} (- \cos (π) + 1)$

Этап 10.8

$14 + \frac{1}{7} (- - \cos (0) + 1)$

Этап 10.9

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$14 + \frac{1}{7} (- (- 1 \cdot 1) + 1)$

Этап 10.10

Умножим $- 1$ на $1$ .

$14 + \frac{1}{7} (- - 1 + 1)$

Этап 10.11

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$14 + \frac{1}{7} (1 + 1)$

Этап 10.12

Добавим $1$ и $1$ .

$14 + \frac{1}{7} \cdot 2$

Этап 10.13

Объединим $\frac{1}{7}$ и $2$ .

$14 + \frac{2}{7}$

Этап 10.14

Чтобы записать $14$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{7}{7}$ .

$14 \cdot \frac{7}{7} + \frac{2}{7}$

Этап 10.15

Объединим $14$ и $\frac{7}{7}$ .

$\frac{14 \cdot 7}{7} + \frac{2}{7}$

Этап 10.16

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{14 \cdot 7 + 2}{7}$

Этап 10.17

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.17.1

Умножим $14$ на $7$ .

$\frac{98 + 2}{7}$

Этап 10.17.2

Добавим $98$ и $2$ .

$\frac{100}{7}$

Этап 11

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{100}{7}$

Десятичная форма:

$14.28571428 \dots$

Форма смешанных чисел:

$14 \frac{2}{7}$