Математический анализ Примеры

\int_{0}^{π} 7 \sin (x) + \sin (7 x) d x

$\int_{0}^{π} 7 \sin (x) + \sin (7 x) d x$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

\int_{0}^{π} 7 \sin (x) d x + \int_{0}^{π} \sin (7 x) d x

$\int_{0}^{π} 7 \sin (x) d x + \int_{0}^{π} \sin (7 x) d x$

Этап 2

Поскольку

7

$7$ — константа по отношению к

x

$x$ , вынесем

7

$7$ из-под знака интеграла.

7 \int_{0}^{π} \sin (x) d x + \int_{0}^{π} \sin (7 x) d x

$7 \int_{0}^{π} \sin (x) d x + \int_{0}^{π} \sin (7 x) d x$

Этап 3

Интеграл

\sin (x)

$\sin (x)$ по

x

$x$ имеет вид

- \cos (x)

$- \cos (x)$ .

7 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \int_{0}^{π} \sin (7 x) d x

$7 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \int_{0}^{π} \sin (7 x) d x$

Этап 4

Пусть

u = 7 x

$u = 7 x$ . Тогда

d u = 7 d x

$d u = 7 d x$ , следовательно

\frac{1}{7} d u = d x

$\frac{1}{7} d u = d x$ . Перепишем, используя

u

$u$ и

d

$d$

u

$u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть

u = 7 x

$u = 7 x$ . Найдем

\frac{d u}{d x}

$\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем

7 x

$7 x$ .

\frac{d}{d x} [7 x]

$\frac{d}{d x} [7 x]$

Этап 4.1.2

Поскольку

7

$7$ является константой относительно

x

$x$ , производная

7 x

$7 x$ по

x

$x$ равна

7 \frac{d}{d x} [x]

$7 \frac{d}{d x} [x]$ .

7 \frac{d}{d x} [x]

$7 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ , где

n = 1

$n = 1$ .

7 \cdot 1

$7 \cdot 1$

Этап 4.1.4

Умножим

7

$7$ на

1

$1$ .

7

$7$

7

$7$

Этап 4.2

Подставим нижнее предельное значение вместо

x

$x$ в

u = 7 x

$u = 7 x$ .

u_{lower} = 7 \cdot 0

$u_{lower} = 7 \cdot 0$

Этап 4.3

Умножим

7

$7$ на

0

$0$ .

u_{lower} = 0

$u_{lower} = 0$

Этап 4.4

Подставим верхнее предельное значение вместо

x

$x$ в

u = 7 x

$u = 7 x$ .

u_{upper} = 7 π

$u_{upper} = 7 π$

Этап 4.5

Значения, найденные для

u_{lower}

$u_{lower}$ и

u_{upper}

$u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

u_{lower} = 0

$u_{lower} = 0$

u_{upper} = 7 π

$u_{upper} = 7 π$

Этап 4.6

Переформулируем задачу, используя

u

$u$ ,

d u

$d u$ и новые пределы интегрирования.

7 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \int_{0}^{7 π} \sin (u) \frac{1}{7} d u

$7 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \int_{0}^{7 π} \sin (u) \frac{1}{7} d u$

7 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \int_{0}^{7 π} \sin (u) \frac{1}{7} d u

$7 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \int_{0}^{7 π} \sin (u) \frac{1}{7} d u$

Этап 5

Объединим

\sin (u)

$\sin (u)$ и

\frac{1}{7}

$\frac{1}{7}$ .

7 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \int_{0}^{7 π} \frac{\sin (u)}{7} d u

$7 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \int_{0}^{7 π} \frac{\sin (u)}{7} d u$

Этап 6

Поскольку

\frac{1}{7}

$\frac{1}{7}$ — константа по отношению к

u

$u$ , вынесем

\frac{1}{7}

$\frac{1}{7}$ из-под знака интеграла.

7 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \frac{1}{7} \int_{0}^{7 π} \sin (u) d u

$7 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \frac{1}{7} \int_{0}^{7 π} \sin (u) d u$

Этап 7

Интеграл

\sin (u)

$\sin (u)$ по

u

$u$ имеет вид

- \cos (u)

$- \cos (u)$ .

7 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \frac{1}{7} - \cos (u)]_{0}^{7 π}

$7 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \frac{1}{7} - \cos (u)]_{0}^{7 π}$

Этап 8

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем значение

- \cos (x)

$- \cos (x)$ в

π

$π$ и в

0

$0$ .

7 ((- \cos (π)) + \cos (0)) + \frac{1}{7} - \cos (u)]_{0}^{7 π}

$7 ((- \cos (π)) + \cos (0)) + \frac{1}{7} - \cos (u)]_{0}^{7 π}$

Этап 8.2

Найдем значение

- \cos (u)

$- \cos (u)$ в

7 π

$7 π$ и в

0

$0$ .

7 ((- \cos (π)) + \cos (0)) + \frac{1}{7} ((- \cos (7 π)) + \cos (0))

$7 ((- \cos (π)) + \cos (0)) + \frac{1}{7} ((- \cos (7 π)) + \cos (0))$

Этап 8.3

Избавимся от скобок.

7 (- \cos (π) + \cos (0)) + \frac{1}{7} (- \cos (7 π) + \cos (0))

$7 (- \cos (π) + \cos (0)) + \frac{1}{7} (- \cos (7 π) + \cos (0))$

7 (- \cos (π) + \cos (0)) + \frac{1}{7} (- \cos (7 π) + \cos (0))

$7 (- \cos (π) + \cos (0)) + \frac{1}{7} (- \cos (7 π) + \cos (0))$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Точное значение

\cos (0)

$\cos (0)$ :

1

$1$ .

7 (- \cos (π) + 1) + \frac{1}{7} (- \cos (7 π) + \cos (0))

$7 (- \cos (π) + 1) + \frac{1}{7} (- \cos (7 π) + \cos (0))$

Этап 9.2

Точное значение

\cos (0)

$\cos (0)$ :

1

$1$ .

7 (- \cos (π) + 1) + \frac{1}{7} (- \cos (7 π) + 1)

$7 (- \cos (π) + 1) + \frac{1}{7} (- \cos (7 π) + 1)$

7 (- \cos (π) + 1) + \frac{1}{7} (- \cos (7 π) + 1)

$7 (- \cos (π) + 1) + \frac{1}{7} (- \cos (7 π) + 1)$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

7 (- - \cos (0) + 1) + \frac{1}{7} (- \cos (7 π) + 1)

$7 (- - \cos (0) + 1) + \frac{1}{7} (- \cos (7 π) + 1)$

Этап 10.2

Точное значение

\cos (0)

$\cos (0)$ :

1

$1$ .

7 (- (- 1 \cdot 1) + 1) + \frac{1}{7} (- \cos (7 π) + 1)

$7 (- (- 1 \cdot 1) + 1) + \frac{1}{7} (- \cos (7 π) + 1)$

Этап 10.3

Умножим

- 1

$- 1$ на

1

$1$ .

7 (- - 1 + 1) + \frac{1}{7} (- \cos (7 π) + 1)

$7 (- - 1 + 1) + \frac{1}{7} (- \cos (7 π) + 1)$

Этап 10.4

Умножим

- 1

$- 1$ на

- 1

$- 1$ .

7 (1 + 1) + \frac{1}{7} (- \cos (7 π) + 1)

$7 (1 + 1) + \frac{1}{7} (- \cos (7 π) + 1)$

Этап 10.5

Добавим

1

$1$ и

1

$1$ .

7 \cdot 2 + \frac{1}{7} (- \cos (7 π) + 1)

$7 \cdot 2 + \frac{1}{7} (- \cos (7 π) + 1)$

Этап 10.6

Умножим

7

$7$ на

2

$2$ .

14 + \frac{1}{7} (- \cos (7 π) + 1)

$14 + \frac{1}{7} (- \cos (7 π) + 1)$

Этап 10.7

Удалим число полных оборотов

2 π

$2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен

0

$0$ и меньше

2 π

$2 π$ .

14 + \frac{1}{7} (- \cos (π) + 1)

$14 + \frac{1}{7} (- \cos (π) + 1)$

Этап 10.8

14 + \frac{1}{7} (- - \cos (0) + 1)

$14 + \frac{1}{7} (- - \cos (0) + 1)$

Этап 10.9

Точное значение

\cos (0)

$\cos (0)$ :

1

$1$ .

14 + \frac{1}{7} (- (- 1 \cdot 1) + 1)

$14 + \frac{1}{7} (- (- 1 \cdot 1) + 1)$

Этап 10.10

Умножим

- 1

$- 1$ на

1

$1$ .

14 + \frac{1}{7} (- - 1 + 1)

$14 + \frac{1}{7} (- - 1 + 1)$

Этап 10.11

Умножим

- 1

$- 1$ на

- 1

$- 1$ .

14 + \frac{1}{7} (1 + 1)

$14 + \frac{1}{7} (1 + 1)$

Этап 10.12

Добавим

1

$1$ и

1

$1$ .

14 + \frac{1}{7} \cdot 2

$14 + \frac{1}{7} \cdot 2$

Этап 10.13

Объединим

\frac{1}{7}

$\frac{1}{7}$ и

2

$2$ .

14 + \frac{2}{7}

$14 + \frac{2}{7}$

Этап 10.14

Чтобы записать

14

$14$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на

\frac{7}{7}

$\frac{7}{7}$ .

14 \cdot \frac{7}{7} + \frac{2}{7}

$14 \cdot \frac{7}{7} + \frac{2}{7}$

Этап 10.15

Объединим

14

$14$ и

\frac{7}{7}

$\frac{7}{7}$ .

\frac{14 \cdot 7}{7} + \frac{2}{7}

$\frac{14 \cdot 7}{7} + \frac{2}{7}$

Этап 10.16

Объединим числители над общим знаменателем.

\frac{14 \cdot 7 + 2}{7}

$\frac{14 \cdot 7 + 2}{7}$

Этап 10.17

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.17.1

Умножим

14

$14$ на

7

$7$ .

\frac{98 + 2}{7}

$\frac{98 + 2}{7}$

Этап 10.17.2

Добавим

98

$98$ и

2

$2$ .

\frac{100}{7}

$\frac{100}{7}$

\frac{100}{7}

$\frac{100}{7}$

\frac{100}{7}

$\frac{100}{7}$

Этап 11

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

\frac{100}{7}

$\frac{100}{7}$

Десятичная форма:

14.28571428 \dots

$14.28571428 \dots$

Форма смешанных чисел:

14 \frac{2}{7}

$14 \frac{2}{7}$