Математический анализ Примеры

$\int_{- 1}^{1} \frac{9 x^{3} - 8 x^{2}}{4 x} d x$

Этап 1

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} \int_{- 1}^{1} \frac{9 x^{3} - 8 x^{2}}{x} d x$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $9 x^{3} - 8 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $9 x^{3}$ .

$\frac{1}{4} \int_{- 1}^{1} \frac{x^{2} (9 x) - 8 x^{2}}{x} d x$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $- 8 x^{2}$ .

$\frac{1}{4} \int_{- 1}^{1} \frac{x^{2} (9 x) + x^{2} \cdot - 8}{x} d x$

Этап 2.1.3

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} (9 x) + x^{2} \cdot - 8$ .

$\frac{1}{4} \int_{- 1}^{1} \frac{x^{2} (9 x - 8)}{x} d x$

Этап 2.2

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} (9 x - 8)$ .

$\frac{1}{4} \int_{- 1}^{1} \frac{x (x (9 x - 8))}{x} d x$

Этап 2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{1}{4} \int_{- 1}^{1} \frac{x (x (9 x - 8))}{x^{1}} d x$

Этап 2.2.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$\frac{1}{4} \int_{- 1}^{1} \frac{x (x (9 x - 8))}{x \cdot 1} d x$

Этап 2.2.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{4} \int_{- 1}^{1} \frac{x (x (9 x - 8))}{x \cdot 1} d x$

Этап 2.2.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{4} \int_{- 1}^{1} \frac{x (9 x - 8)}{1} d x$

Этап 2.2.2.5

Разделим $x (9 x - 8)$ на $1$ .

$\frac{1}{4} \int_{- 1}^{1} x (9 x - 8) d x$

Этап 3

Умножим $x (9 x - 8)$ .

$\frac{1}{4} \int_{- 1}^{1} x (9 x) + x \cdot - 8 d x$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{1}{4} \int_{- 1}^{1} 9 (x^{1} x) + x \cdot - 8 d x$

Этап 4.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{1}{4} \int_{- 1}^{1} 9 (x^{1} x^{1}) + x \cdot - 8 d x$

Этап 4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{4} \int_{- 1}^{1} 9 x^{1 + 1} + x \cdot - 8 d x$

Этап 4.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{4} \int_{- 1}^{1} 9 x^{2} + x \cdot - 8 d x$

Этап 4.5

Перенесем $- 8$ влево от $x$ .

$\frac{1}{4} \int_{- 1}^{1} 9 x^{2} - 8 x d x$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{4} (\int_{- 1}^{1} 9 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} - 8 x d x)$

Этап 6

Поскольку $9$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $9$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} (9 \int_{- 1}^{1} x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} - 8 x d x)$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{4} (9 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - 8 x d x)$

Этап 8

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$\frac{1}{4} (9 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - 8 x d x)$

Этап 9

Поскольку $- 8$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 8$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} (9 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) - 8 \int_{- 1}^{1} x d x)$

Этап 10

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{4} (9 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) - 8 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{1}))$

Этап 11

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{1}{4} (9 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) - 8 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{1}))$

Этап 11.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $1$ и в $- 1$ .

$\frac{1}{4} (9 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - 8 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{1}))$

Этап 11.2.2

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $1$ и в $- 1$ .

$\frac{1}{4} (9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - 8 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Этап 11.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{4} (9 (\frac{1}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - 8 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Этап 11.2.3.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$\frac{1}{4} (9 (\frac{1}{3} - \frac{- 1}{3}) - 8 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Этап 11.2.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{4} (9 (\frac{1}{3} - - \frac{1}{3}) - 8 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Этап 11.2.3.4

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{1}{4} (9 (\frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{3})) - 8 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Этап 11.2.3.5

Умножим $\frac{1}{3}$ на $1$ .

$\frac{1}{4} (9 (\frac{1}{3} + \frac{1}{3}) - 8 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Этап 11.2.3.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{4} (9 \frac{1 + 1}{3} - 8 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Этап 11.2.3.7

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{4} (9 (\frac{2}{3}) - 8 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Этап 11.2.3.8

Объединим $9$ и $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{9 \cdot 2}{3} - 8 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Этап 11.2.3.9

Умножим $9$ на $2$ .

$\frac{1}{4} (\frac{18}{3} - 8 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Этап 11.2.3.10

Сократим общий множитель $18$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.10.1

Вынесем множитель $3$ из $18$ .

$\frac{1}{4} (\frac{3 \cdot 6}{3} - 8 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Этап 11.2.3.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.10.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{1}{4} (\frac{3 \cdot 6}{3 (1)} - 8 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Этап 11.2.3.10.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{4} (\frac{3 \cdot 6}{3 \cdot 1} - 8 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Этап 11.2.3.10.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{4} (\frac{6}{1} - 8 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Этап 11.2.3.10.2.4

Разделим $6$ на $1$ .

$\frac{1}{4} (6 - 8 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Этап 11.2.3.11

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{4} (6 - 8 (\frac{1}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Этап 11.2.3.12

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\frac{1}{4} (6 - 8 (\frac{1}{2} - \frac{1}{2}))$

Этап 11.2.3.13

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{4} (6 - 8 \frac{1 - 1}{2})$

Этап 11.2.3.14

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{1}{4} (6 - 8 (\frac{0}{2}))$

Этап 11.2.3.15

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.15.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$\frac{1}{4} (6 - 8 \frac{2 (0)}{2})$

Этап 11.2.3.15.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.15.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{1}{4} (6 - 8 \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Этап 11.2.3.15.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{4} (6 - 8 \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Этап 11.2.3.15.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{4} (6 - 8 (\frac{0}{1}))$

Этап 11.2.3.15.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$\frac{1}{4} (6 - 8 \cdot 0)$

Этап 11.2.3.16

Умножим $- 8$ на $0$ .

$\frac{1}{4} (6 + 0)$

Этап 11.2.3.17

Добавим $6$ и $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot 6$

Этап 11.2.3.18

Объединим $\frac{1}{4}$ и $6$ .

$\frac{6}{4}$

Этап 11.2.3.19

Сократим общий множитель $6$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.19.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{2 (3)}{4}$

Этап 11.2.3.19.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.19.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

Этап 11.2.3.19.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

Этап 11.2.3.19.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{2}$

Этап 12

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{3}{2}$

Десятичная форма:

$1.5$

Форма смешанных чисел:

$1 \frac{1}{2}$

Этап 13