Математический анализ Примеры

$\int_{- 1}^{1} 2 u^{\frac{1}{3}} - u^{\frac{2}{3}} d u$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 1}^{1} 2 u^{\frac{1}{3}} d u + \int_{- 1}^{1} - u^{\frac{2}{3}} d u$

Этап 2

Поскольку $2$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int_{- 1}^{1} u^{\frac{1}{3}} d u + \int_{- 1}^{1} - u^{\frac{2}{3}} d u$

Этап 3

По правилу степени интеграл $u^{\frac{1}{3}}$ по $u$ имеет вид $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ .

$2 (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - u^{\frac{2}{3}} d u$

Этап 4

Объединим $\frac{3}{4}$ и $u^{\frac{4}{3}}$ .

$2 (\frac{3 u^{\frac{4}{3}}}{4}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - u^{\frac{2}{3}} d u$

Этап 5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$2 (\frac{3 u^{\frac{4}{3}}}{4}]_{- 1}^{1}) - \int_{- 1}^{1} u^{\frac{2}{3}} d u$

Этап 6

По правилу степени интеграл $u^{\frac{2}{3}}$ по $u$ имеет вид $\frac{3}{5} u^{\frac{5}{3}}$ .

$2 (\frac{3 u^{\frac{4}{3}}}{4}]_{- 1}^{1}) - (\frac{3}{5} u^{\frac{5}{3}}]_{- 1}^{1})$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $\frac{3}{5}$ и $u^{\frac{5}{3}}$ .

$2 (\frac{3 u^{\frac{4}{3}}}{4}]_{- 1}^{1}) - (\frac{3 u^{\frac{5}{3}}}{5}]_{- 1}^{1})$

Этап 7.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Найдем значение $\frac{3 u^{\frac{4}{3}}}{4}$ в $1$ и в $- 1$ .

$2 ((\frac{3 \cdot 1^{\frac{4}{3}}}{4}) - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{4}{3}}}{4}) - (\frac{3 u^{\frac{5}{3}}}{5}]_{- 1}^{1})$

Этап 7.2.2

Найдем значение $\frac{3 u^{\frac{5}{3}}}{5}$ в $1$ и в $- 1$ .

$2 (\frac{3 \cdot 1^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{4}{3}}}{4}) - (\frac{3 \cdot 1^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Этап 7.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Единица в любой степени равна единице.

$2 (\frac{3 \cdot 1}{4} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{4}{3}}}{4}) - (\frac{3 \cdot 1^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Этап 7.2.3.2

Умножим $3$ на $1$ .

$2 (\frac{3}{4} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{4}{3}}}{4}) - (\frac{3 \cdot 1^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Этап 7.2.3.3

Перепишем $- 1$ в виде ${(- 1)}^{3}$ .

$2 (\frac{3}{4} - \frac{3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{4}{3}}}{4}) - (\frac{3 \cdot 1^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Этап 7.2.3.4

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (\frac{3}{4} - \frac{3 {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})}}{4}) - (\frac{3 \cdot 1^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Этап 7.2.3.5

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.5.1

Сократим общий множитель.

$2 (\frac{3}{4} - \frac{3 {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})}}{4}) - (\frac{3 \cdot 1^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Этап 7.2.3.5.2

Перепишем это выражение.

$2 (\frac{3}{4} - \frac{3 {(- 1)}^{4}}{4}) - (\frac{3 \cdot 1^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Этап 7.2.3.6

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$2 (\frac{3}{4} - \frac{3 \cdot 1}{4}) - (\frac{3 \cdot 1^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Этап 7.2.3.7

Умножим $3$ на $1$ .

$2 (\frac{3}{4} - \frac{3}{4}) - (\frac{3 \cdot 1^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Этап 7.2.3.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 \frac{3 - 3}{4} - (\frac{3 \cdot 1^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Этап 7.2.3.9

Вычтем $3$ из $3$ .

$2 (\frac{0}{4}) - (\frac{3 \cdot 1^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Этап 7.2.3.10

Сократим общий множитель $0$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.10.1

Вынесем множитель $4$ из $0$ .

$2 \frac{4 (0)}{4} - (\frac{3 \cdot 1^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Этап 7.2.3.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.10.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$2 \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} - (\frac{3 \cdot 1^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Этап 7.2.3.10.2.2

Сократим общий множитель.

$2 \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} - (\frac{3 \cdot 1^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Этап 7.2.3.10.2.3

Перепишем это выражение.

$2 (\frac{0}{1}) - (\frac{3 \cdot 1^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Этап 7.2.3.10.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$2 \cdot 0 - (\frac{3 \cdot 1^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Этап 7.2.3.11

Умножим $2$ на $0$ .

$0 - (\frac{3 \cdot 1^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Этап 7.2.3.12

Единица в любой степени равна единице.

$0 - (\frac{3 \cdot 1}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Этап 7.2.3.13

Умножим $3$ на $1$ .

$0 - (\frac{3}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Этап 7.2.3.14

Перепишем $- 1$ в виде ${(- 1)}^{3}$ .

$0 - (\frac{3}{5} - \frac{3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Этап 7.2.3.15

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - (\frac{3}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{3 (\frac{5}{3})}}{5})$

Этап 7.2.3.16

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.16.1

Сократим общий множитель.

$0 - (\frac{3}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{3 (\frac{5}{3})}}{5})$

Этап 7.2.3.16.2

Перепишем это выражение.

$0 - (\frac{3}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{5}}{5})$

Этап 7.2.3.17

Возведем $- 1$ в степень $5$ .

$0 - (\frac{3}{5} - \frac{3 \cdot - 1}{5})$

Этап 7.2.3.18

Умножим $3$ на $- 1$ .

$0 - (\frac{3}{5} - \frac{- 3}{5})$

Этап 7.2.3.19

Вынесем знак минуса перед дробью.

$0 - (\frac{3}{5} - - \frac{3}{5})$

Этап 7.2.3.20

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$0 - (\frac{3}{5} + 1 (\frac{3}{5}))$

Этап 7.2.3.21

Умножим $\frac{3}{5}$ на $1$ .

$0 - (\frac{3}{5} + \frac{3}{5})$

Этап 7.2.3.22

Объединим числители над общим знаменателем.

$0 - \frac{3 + 3}{5}$

Этап 7.2.3.23

Добавим $3$ и $3$ .

$0 - \frac{6}{5}$

Этап 7.2.3.24

Вычтем $\frac{6}{5}$ из $0$ .

$- \frac{6}{5}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{6}{5}$

Десятичная форма:

$- 1.2$

Форма смешанных чисел:

$- 1 \frac{1}{5}$

Этап 9