Математический анализ Примеры

$\int_{- 1}^{19} 18 x - x^{2} + 19 d x$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 1}^{19} 18 x d x + \int_{- 1}^{19} - x^{2} d x + \int_{- 1}^{19} 19 d x$

Этап 2

Поскольку $18$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $18$ из-под знака интеграла.

$18 \int_{- 1}^{19} x d x + \int_{- 1}^{19} - x^{2} d x + \int_{- 1}^{19} 19 d x$

Этап 3

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$18 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{19}) + \int_{- 1}^{19} - x^{2} d x + \int_{- 1}^{19} 19 d x$

Этап 4

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$18 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{19}) + \int_{- 1}^{19} - x^{2} d x + \int_{- 1}^{19} 19 d x$

Этап 5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$18 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{19}) - \int_{- 1}^{19} x^{2} d x + \int_{- 1}^{19} 19 d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$18 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{19}) - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{19}) + \int_{- 1}^{19} 19 d x$

Этап 7

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$18 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{19}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{19}) + \int_{- 1}^{19} 19 d x$

Этап 8

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$18 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{19}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{19}) + 19 x]_{- 1}^{19}$

Этап 9

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $19$ и в $- 1$ .

$18 ((\frac{19^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{19}) + 19 x]_{- 1}^{19}$

Этап 9.2

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $19$ и в $- 1$ .

$18 (\frac{19^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{19^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 19 x]_{- 1}^{19}$

Этап 9.3

Найдем значение $19 x$ в $19$ и в $- 1$ .

$18 (\frac{19^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{19^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (19 \cdot 19) - 19 \cdot - 1$

Этап 9.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Возведем $19$ в степень $2$ .

$18 (\frac{361}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{19^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (19 \cdot 19) - 19 \cdot - 1$

Этап 9.4.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$18 (\frac{361}{2} - \frac{1}{2}) - (\frac{19^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (19 \cdot 19) - 19 \cdot - 1$

Этап 9.4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$18 \frac{361 - 1}{2} - (\frac{19^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (19 \cdot 19) - 19 \cdot - 1$

Этап 9.4.4

Вычтем $1$ из $361$ .

$18 (\frac{360}{2}) - (\frac{19^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (19 \cdot 19) - 19 \cdot - 1$

Этап 9.4.5

Сократим общий множитель $360$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.5.1

Вынесем множитель $2$ из $360$ .

$18 \frac{2 \cdot 180}{2} - (\frac{19^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (19 \cdot 19) - 19 \cdot - 1$

Этап 9.4.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$18 \frac{2 \cdot 180}{2 (1)} - (\frac{19^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (19 \cdot 19) - 19 \cdot - 1$

Этап 9.4.5.2.2

Сократим общий множитель.

$18 \frac{2 \cdot 180}{2 \cdot 1} - (\frac{19^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (19 \cdot 19) - 19 \cdot - 1$

Этап 9.4.5.2.3

Перепишем это выражение.

$18 (\frac{180}{1}) - (\frac{19^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (19 \cdot 19) - 19 \cdot - 1$

Этап 9.4.5.2.4

Разделим $180$ на $1$ .

$18 \cdot 180 - (\frac{19^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (19 \cdot 19) - 19 \cdot - 1$

Этап 9.4.6

Умножим $18$ на $180$ .

$3240 - (\frac{19^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (19 \cdot 19) - 19 \cdot - 1$

Этап 9.4.7

Возведем $19$ в степень $3$ .

$3240 - (\frac{6859}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (19 \cdot 19) - 19 \cdot - 1$

Этап 9.4.8

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$3240 - (\frac{6859}{3} - \frac{- 1}{3}) + (19 \cdot 19) - 19 \cdot - 1$

Этап 9.4.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$3240 - (\frac{6859}{3} - - \frac{1}{3}) + (19 \cdot 19) - 19 \cdot - 1$

Этап 9.4.10

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$3240 - (\frac{6859}{3} + 1 (\frac{1}{3})) + (19 \cdot 19) - 19 \cdot - 1$

Этап 9.4.11

Умножим $\frac{1}{3}$ на $1$ .

$3240 - (\frac{6859}{3} + \frac{1}{3}) + (19 \cdot 19) - 19 \cdot - 1$

Этап 9.4.12

Объединим числители над общим знаменателем.

$3240 - \frac{6859 + 1}{3} + (19 \cdot 19) - 19 \cdot - 1$

Этап 9.4.13

Добавим $6859$ и $1$ .

$3240 - \frac{6860}{3} + (19 \cdot 19) - 19 \cdot - 1$

Этап 9.4.14

Чтобы записать $3240$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$3240 \cdot \frac{3}{3} - \frac{6860}{3} + (19 \cdot 19) - 19 \cdot - 1$

Этап 9.4.15

Объединим $3240$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3240 \cdot 3}{3} - \frac{6860}{3} + (19 \cdot 19) - 19 \cdot - 1$

Этап 9.4.16

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3240 \cdot 3 - 6860}{3} + (19 \cdot 19) - 19 \cdot - 1$

Этап 9.4.17

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.17.1

Умножим $3240$ на $3$ .

$\frac{9720 - 6860}{3} + (19 \cdot 19) - 19 \cdot - 1$

Этап 9.4.17.2

Вычтем $6860$ из $9720$ .

$\frac{2860}{3} + (19 \cdot 19) - 19 \cdot - 1$

Этап 9.4.18

Умножим $19$ на $19$ .

$\frac{2860}{3} + 361 - 19 \cdot - 1$

Этап 9.4.19

Умножим $- 19$ на $- 1$ .

$\frac{2860}{3} + 361 + 19$

Этап 9.4.20

Добавим $361$ и $19$ .

$\frac{2860}{3} + 380$

Этап 9.4.21

Чтобы записать $380$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2860}{3} + 380 \cdot \frac{3}{3}$

Этап 9.4.22

Объединим $380$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2860}{3} + \frac{380 \cdot 3}{3}$

Этап 9.4.23

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2860 + 380 \cdot 3}{3}$

Этап 9.4.24

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.24.1

Умножим $380$ на $3$ .

$\frac{2860 + 1140}{3}$

Этап 9.4.24.2

Добавим $2860$ и $1140$ .

$\frac{4000}{3}$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{4000}{3}$

Десятичная форма:

$1333.\overline{3}$

Форма смешанных чисел:

$1333 \frac{1}{3}$

Этап 11