Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{10} 3 x^{2} + 3 x + 6 d x$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{1}^{10} 3 x^{2} d x + \int_{1}^{10} 3 x d x + \int_{1}^{10} 6 d x$

Этап 2

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int_{1}^{10} x^{2} d x + \int_{1}^{10} 3 x d x + \int_{1}^{10} 6 d x$

Этап 3

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{10}) + \int_{1}^{10} 3 x d x + \int_{1}^{10} 6 d x$

Этап 4

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{10}) + \int_{1}^{10} 3 x d x + \int_{1}^{10} 6 d x$

Этап 5

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{10}) + 3 \int_{1}^{10} x d x + \int_{1}^{10} 6 d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{10}) + 3 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{10}) + \int_{1}^{10} 6 d x$

Этап 7

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{10}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{10}) + \int_{1}^{10} 6 d x$

Этап 8

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{10}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{10}) + 6 x]_{1}^{10}$

Этап 9

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $10$ и в $1$ .

$3 ((\frac{10^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{10}) + 6 x]_{1}^{10}$

Этап 9.2

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $10$ и в $1$ .

$3 (\frac{10^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{10^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 6 x]_{1}^{10}$

Этап 9.3

Найдем значение $6 x$ в $10$ и в $1$ .

$3 (\frac{10^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{10^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

Этап 9.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Возведем $10$ в степень $3$ .

$3 (\frac{1000}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{10^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

Этап 9.4.2

Единица в любой степени равна единице.

$3 (\frac{1000}{3} - \frac{1}{3}) + 3 (\frac{10^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

Этап 9.4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$3 \frac{1000 - 1}{3} + 3 (\frac{10^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

Этап 9.4.4

Вычтем $1$ из $1000$ .

$3 (\frac{999}{3}) + 3 (\frac{10^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

Этап 9.4.5

Сократим общий множитель $999$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.5.1

Вынесем множитель $3$ из $999$ .

$3 \frac{3 \cdot 333}{3} + 3 (\frac{10^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

Этап 9.4.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.5.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$3 \frac{3 \cdot 333}{3 (1)} + 3 (\frac{10^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

Этап 9.4.5.2.2

Сократим общий множитель.

$3 \frac{3 \cdot 333}{3 \cdot 1} + 3 (\frac{10^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

Этап 9.4.5.2.3

Перепишем это выражение.

$3 (\frac{333}{1}) + 3 (\frac{10^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

Этап 9.4.5.2.4

Разделим $333$ на $1$ .

$3 \cdot 333 + 3 (\frac{10^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

Этап 9.4.6

Умножим $3$ на $333$ .

$999 + 3 (\frac{10^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

Этап 9.4.7

Возведем $10$ в степень $2$ .

$999 + 3 (\frac{100}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

Этап 9.4.8

Сократим общий множитель $100$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.8.1

Вынесем множитель $2$ из $100$ .

$999 + 3 (\frac{2 \cdot 50}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

Этап 9.4.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.8.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$999 + 3 (\frac{2 \cdot 50}{2 (1)} - \frac{1^{2}}{2}) + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

Этап 9.4.8.2.2

Сократим общий множитель.

$999 + 3 (\frac{2 \cdot 50}{2 \cdot 1} - \frac{1^{2}}{2}) + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

Этап 9.4.8.2.3

Перепишем это выражение.

$999 + 3 (\frac{50}{1} - \frac{1^{2}}{2}) + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

Этап 9.4.8.2.4

Разделим $50$ на $1$ .

$999 + 3 (50 - \frac{1^{2}}{2}) + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

Этап 9.4.9

Единица в любой степени равна единице.

$999 + 3 (50 - \frac{1}{2}) + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

Этап 9.4.10

Чтобы записать $50$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$999 + 3 (50 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}) + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

Этап 9.4.11

Объединим $50$ и $\frac{2}{2}$ .

$999 + 3 (\frac{50 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}) + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

Этап 9.4.12

Объединим числители над общим знаменателем.

$999 + 3 \frac{50 \cdot 2 - 1}{2} + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

Этап 9.4.13

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.13.1

Умножим $50$ на $2$ .

$999 + 3 \frac{100 - 1}{2} + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

Этап 9.4.13.2

Вычтем $1$ из $100$ .

$999 + 3 (\frac{99}{2}) + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

Этап 9.4.14

Объединим $3$ и $\frac{99}{2}$ .

$999 + \frac{3 \cdot 99}{2} + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

Этап 9.4.15

Умножим $3$ на $99$ .

$999 + \frac{297}{2} + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

Этап 9.4.16

Чтобы записать $999$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$999 \cdot \frac{2}{2} + \frac{297}{2} + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

Этап 9.4.17

Объединим $999$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{999 \cdot 2}{2} + \frac{297}{2} + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

Этап 9.4.18

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{999 \cdot 2 + 297}{2} + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

Этап 9.4.19

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.19.1

Умножим $999$ на $2$ .

$\frac{1998 + 297}{2} + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

Этап 9.4.19.2

Добавим $1998$ и $297$ .

$\frac{2295}{2} + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

Этап 9.4.20

Умножим $6$ на $10$ .

$\frac{2295}{2} + 60 - 6 \cdot 1$

Этап 9.4.21

Умножим $- 6$ на $1$ .

$\frac{2295}{2} + 60 - 6$

Этап 9.4.22

Вычтем $6$ из $60$ .

$\frac{2295}{2} + 54$

Этап 9.4.23

Чтобы записать $54$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2295}{2} + 54 \cdot \frac{2}{2}$

Этап 9.4.24

Объединим $54$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2295}{2} + \frac{54 \cdot 2}{2}$

Этап 9.4.25

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2295 + 54 \cdot 2}{2}$

Этап 9.4.26

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.26.1

Умножим $54$ на $2$ .

$\frac{2295 + 108}{2}$

Этап 9.4.26.2

Добавим $2295$ и $108$ .

$\frac{2403}{2}$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{2403}{2}$

Десятичная форма:

$1201.5$

Форма смешанных чисел:

$1201 \frac{1}{2}$

Этап 11