Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{2} {(5 x - 7)}^{8} d x$

Этап 1

Пусть $u = 5 x - 7$ . Тогда $d u = 5 d x$ , следовательно $\frac{1}{5} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = 5 x - 7$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $5 x - 7$ .

$\frac{d}{d x} [5 x - 7]$

Этап 1.1.2

По правилу суммы производная $5 x - 7$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7]$

Этап 1.1.3.3

Умножим $5$ на $1$ .

$5 + \frac{d}{d x} [- 7]$

Этап 1.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Поскольку $- 7$ является константой относительно $x$ , производная $- 7$ относительно $x$ равна $0$ .

$5 + 0$

Этап 1.1.4.2

Добавим $5$ и $0$ .

$5$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = 5 x - 7$ .

$u_{lower} = 5 \cdot 1 - 7$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $5$ на $1$ .

$u_{lower} = 5 - 7$

Этап 1.3.2

Вычтем $7$ из $5$ .

$u_{lower} = - 2$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = 5 x - 7$ .

$u_{upper} = 5 \cdot 2 - 7$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Умножим $5$ на $2$ .

$u_{upper} = 10 - 7$

Этап 1.5.2

Вычтем $7$ из $10$ .

$u_{upper} = 3$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = - 2$

$u_{upper} = 3$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{- 2}^{3} u^{8} \frac{1}{5} d u$

Этап 2

Объединим $u^{8}$ и $\frac{1}{5}$ .

$\int_{- 2}^{3} \frac{u^{8}}{5} d u$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{5}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{5}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{5} \int_{- 2}^{3} u^{8} d u$

Этап 4

По правилу степени интеграл $u^{8}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{9} u^{9}$ .

$\frac{1}{5} \frac{1}{9} u^{9}]_{- 2}^{3}$

Этап 5

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем значение $\frac{1}{9} u^{9}$ в $3$ и в $- 2$ .

$\frac{1}{5} ((\frac{1}{9} \cdot 3^{9}) - \frac{1}{9} {(- 2)}^{9})$

Этап 5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Возведем $3$ в степень $9$ .

$\frac{1}{5} (\frac{1}{9} \cdot 19683 - \frac{1}{9} {(- 2)}^{9})$

Этап 5.2.2

Объединим $\frac{1}{9}$ и $19683$ .

$\frac{1}{5} (\frac{19683}{9} - \frac{1}{9} {(- 2)}^{9})$

Этап 5.2.3

Сократим общий множитель $19683$ и $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Вынесем множитель $9$ из $19683$ .

$\frac{1}{5} (\frac{9 \cdot 2187}{9} - \frac{1}{9} {(- 2)}^{9})$

Этап 5.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.1

Вынесем множитель $9$ из $9$ .

$\frac{1}{5} (\frac{9 \cdot 2187}{9 (1)} - \frac{1}{9} {(- 2)}^{9})$

Этап 5.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{5} (\frac{9 \cdot 2187}{9 \cdot 1} - \frac{1}{9} {(- 2)}^{9})$

Этап 5.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{5} (\frac{2187}{1} - \frac{1}{9} {(- 2)}^{9})$

Этап 5.2.3.2.4

Разделим $2187$ на $1$ .

$\frac{1}{5} (2187 - \frac{1}{9} {(- 2)}^{9})$

Этап 5.2.4

Возведем $- 2$ в степень $9$ .

$\frac{1}{5} (2187 - \frac{1}{9} \cdot - 512)$

Этап 5.2.5

Умножим $- 512$ на $- 1$ .

$\frac{1}{5} (2187 + 512 (\frac{1}{9}))$

Этап 5.2.6

Объединим $512$ и $\frac{1}{9}$ .

$\frac{1}{5} (2187 + \frac{512}{9})$

Этап 5.2.7

Чтобы записать $2187$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{9}{9}$ .

$\frac{1}{5} (2187 \cdot \frac{9}{9} + \frac{512}{9})$

Этап 5.2.8

Объединим $2187$ и $\frac{9}{9}$ .

$\frac{1}{5} (\frac{2187 \cdot 9}{9} + \frac{512}{9})$

Этап 5.2.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{2187 \cdot 9 + 512}{9}$

Этап 5.2.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.10.1

Умножим $2187$ на $9$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{19683 + 512}{9}$

Этап 5.2.10.2

Добавим $19683$ и $512$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{20195}{9}$

Этап 5.2.11

Умножим $\frac{1}{5}$ на $\frac{20195}{9}$ .

$\frac{20195}{5 \cdot 9}$

Этап 5.2.12

Умножим $5$ на $9$ .

$\frac{20195}{45}$

Этап 5.2.13

Сократим общий множитель $20195$ и $45$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.13.1

Вынесем множитель $5$ из $20195$ .

$\frac{5 (4039)}{45}$

Этап 5.2.13.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.13.2.1

Вынесем множитель $5$ из $45$ .

$\frac{5 \cdot 4039}{5 \cdot 9}$

Этап 5.2.13.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{5 \cdot 4039}{5 \cdot 9}$

Этап 5.2.13.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{4039}{9}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{4039}{9}$

Десятичная форма:

$448.\overline{7}$

Форма смешанных чисел:

$448 \frac{7}{9}$

Этап 7