Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{2} {(4 - 3 x)}^{8} d x$

Этап 1

Пусть $u = 4 - 3 x$ . Тогда $d u = - 3 d x$ , следовательно $- \frac{1}{3} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = 4 - 3 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $4 - 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 - 3 x]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $4 - 3 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Этап 1.1.2.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 3 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 - 3 \cdot 1$

Этап 1.1.3.3

Умножим $- 3$ на $1$ .

$0 - 3$

Этап 1.1.4

Вычтем $3$ из $0$ .

$- 3$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = 4 - 3 x$ .

$u_{lower} = 4 - 3 \cdot 1$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $- 3$ на $1$ .

$u_{lower} = 4 - 3$

Этап 1.3.2

Вычтем $3$ из $4$ .

$u_{lower} = 1$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = 4 - 3 x$ .

$u_{upper} = 4 - 3 \cdot 2$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Умножим $- 3$ на $2$ .

$u_{upper} = 4 - 6$

Этап 1.5.2

Вычтем $6$ из $4$ .

$u_{upper} = - 2$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = - 2$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{1}^{- 2} u^{8} \frac{1}{- 3} d u$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int_{1}^{- 2} u^{8} (- \frac{1}{3}) d u$

Этап 2.2

Объединим $u^{8}$ и $\frac{1}{3}$ .

$\int_{1}^{- 2} - \frac{u^{8}}{3} d u$

Этап 3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int_{1}^{- 2} \frac{u^{8}}{3} d u$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$- (\frac{1}{3} \int_{1}^{- 2} u^{8} d u)$

Этап 5

По правилу степени интеграл $u^{8}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{9} u^{9}$ .

$- \frac{1}{3} \frac{1}{9} u^{9}]_{1}^{- 2}$

Этап 6

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем значение $\frac{1}{9} u^{9}$ в $- 2$ и в $1$ .

$- \frac{1}{3} ((\frac{1}{9} {(- 2)}^{9}) - \frac{1}{9} \cdot 1^{9})$

Этап 6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Возведем $- 2$ в степень $9$ .

$- \frac{1}{3} (\frac{1}{9} \cdot - 512 - \frac{1}{9} \cdot 1^{9})$

Этап 6.2.2

Объединим $\frac{1}{9}$ и $- 512$ .

$- \frac{1}{3} (\frac{- 512}{9} - \frac{1}{9} \cdot 1^{9})$

Этап 6.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{3} (- \frac{512}{9} - \frac{1}{9} \cdot 1^{9})$

Этап 6.2.4

Единица в любой степени равна единице.

$- \frac{1}{3} (- \frac{512}{9} - \frac{1}{9} \cdot 1)$

Этап 6.2.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{1}{3} (- \frac{512}{9} - \frac{1}{9})$

Этап 6.2.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{- 512 - 1}{9}$

Этап 6.2.7

Вычтем $1$ из $- 512$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{- 513}{9}$

Этап 6.2.8

Сократим общий множитель $- 513$ и $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.8.1

Вынесем множитель $9$ из $- 513$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{9 \cdot - 57}{9}$

Этап 6.2.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.8.2.1

Вынесем множитель $9$ из $9$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{9 \cdot - 57}{9 (1)}$

Этап 6.2.8.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{9 \cdot - 57}{9 \cdot 1}$

Этап 6.2.8.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{- 57}{1}$

Этап 6.2.8.2.4

Разделим $- 57$ на $1$ .

$- \frac{1}{3} \cdot - 57$

Этап 6.2.9

Умножим $- 57$ на $- 1$ .

$57 (\frac{1}{3})$

Этап 6.2.10

Объединим $57$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{57}{3}$

Этап 6.2.11

Сократим общий множитель $57$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.11.1

Вынесем множитель $3$ из $57$ .

$\frac{3 \cdot 19}{3}$

Этап 6.2.11.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.11.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 \cdot 19}{3 (1)}$

Этап 6.2.11.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 19}{3 \cdot 1}$

Этап 6.2.11.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{19}{1}$

Этап 6.2.11.2.4

Разделим $19$ на $1$ .

$19$

Этап 7