Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{2} 8 x^{3} + 3 x^{2} d x$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{1}^{2} 8 x^{3} d x + \int_{1}^{2} 3 x^{2} d x$

Этап 2

Поскольку $8$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $8$ из-под знака интеграла.

$8 \int_{1}^{2} x^{3} d x + \int_{1}^{2} 3 x^{2} d x$

Этап 3

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$8 (\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} 3 x^{2} d x$

Этап 4

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{4}$ .

$8 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} 3 x^{2} d x$

Этап 5

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$8 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{2}) + 3 \int_{1}^{2} x^{2} d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$8 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{2}) + 3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2})$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$8 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{2}) + 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2})$

Этап 7.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Найдем значение $\frac{x^{4}}{4}$ в $2$ и в $1$ .

$8 ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4}) + 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2})$

Этап 7.2.2

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $2$ и в $1$ .

$8 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4}) + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 7.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Возведем $2$ в степень $4$ .

$8 (\frac{16}{4} - \frac{1^{4}}{4}) + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.2

Сократим общий множитель $16$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.2.1

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

$8 (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{1^{4}}{4}) + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$8 (\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{1^{4}}{4}) + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$8 (\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{1^{4}}{4}) + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$8 (\frac{4}{1} - \frac{1^{4}}{4}) + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.2.2.4

Разделим $4$ на $1$ .

$8 (4 - \frac{1^{4}}{4}) + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.3

Единица в любой степени равна единице.

$8 (4 - \frac{1}{4}) + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.4

Чтобы записать $4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$8 (4 \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4}) + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.5

Объединим $4$ и $\frac{4}{4}$ .

$8 (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4}) + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$8 \frac{4 \cdot 4 - 1}{4} + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.7.1

Умножим $4$ на $4$ .

$8 \frac{16 - 1}{4} + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.7.2

Вычтем $1$ из $16$ .

$8 (\frac{15}{4}) + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.8

Объединим $8$ и $\frac{15}{4}$ .

$\frac{8 \cdot 15}{4} + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.9

Умножим $8$ на $15$ .

$\frac{120}{4} + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.10

Сократим общий множитель $120$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.10.1

Вынесем множитель $4$ из $120$ .

$\frac{4 \cdot 30}{4} + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.10.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$\frac{4 \cdot 30}{4 (1)} + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.10.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \cdot 30}{4 \cdot 1} + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.10.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{30}{1} + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.10.2.4

Разделим $30$ на $1$ .

$30 + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.11

Возведем $2$ в степень $3$ .

$30 + 3 (\frac{8}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.12

Единица в любой степени равна единице.

$30 + 3 (\frac{8}{3} - \frac{1}{3})$

Этап 7.2.3.13

Объединим числители над общим знаменателем.

$30 + 3 \frac{8 - 1}{3}$

Этап 7.2.3.14

Вычтем $1$ из $8$ .

$30 + 3 (\frac{7}{3})$

Этап 7.2.3.15

Объединим $3$ и $\frac{7}{3}$ .

$30 + \frac{3 \cdot 7}{3}$

Этап 7.2.3.16

Умножим $3$ на $7$ .

$30 + \frac{21}{3}$

Этап 7.2.3.17

Сократим общий множитель $21$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.17.1

Вынесем множитель $3$ из $21$ .

$30 + \frac{3 \cdot 7}{3}$

Этап 7.2.3.17.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.17.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$30 + \frac{3 \cdot 7}{3 (1)}$

Этап 7.2.3.17.2.2

Сократим общий множитель.

$30 + \frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 1}$

Этап 7.2.3.17.2.3

Перепишем это выражение.

$30 + \frac{7}{1}$

Этап 7.2.3.17.2.4

Разделим $7$ на $1$ .

$30 + 7$

Этап 7.2.3.18

Добавим $30$ и $7$ .

$37$

Этап 8