Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{2} 5 x^{- 4} - 9 x^{2} d x$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{1}^{2} 5 x^{- 4} d x + \int_{1}^{2} - 9 x^{2} d x$

Этап 2

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$5 \int_{1}^{2} x^{- 4} d x + \int_{1}^{2} - 9 x^{2} d x$

Этап 3

По правилу степени интеграл $x^{- 4}$ по $x$ имеет вид $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ .

$5 (- \frac{1}{3} x^{- 3}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} - 9 x^{2} d x$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим $x^{- 3}$ и $\frac{1}{3}$ .

$5 (- \frac{x^{- 3}}{3}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} - 9 x^{2} d x$

Этап 4.2

Перенесем $x^{- 3}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 (- \frac{1}{3 x^{3}}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} - 9 x^{2} d x$

Этап 5

Поскольку $- 9$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 9$ из-под знака интеграла.

$5 (- \frac{1}{3 x^{3}}]_{1}^{2}) - 9 \int_{1}^{2} x^{2} d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$5 (- \frac{1}{3 x^{3}}]_{1}^{2}) - 9 (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2})$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$5 (- \frac{1}{3 x^{3}}]_{1}^{2}) - 9 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2})$

Этап 7.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Найдем значение $- \frac{1}{3 x^{3}}$ в $2$ и в $1$ .

$5 ((- \frac{1}{3 \cdot 2^{3}}) + \frac{1}{3 \cdot 1^{3}}) - 9 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2})$

Этап 7.2.2

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $2$ и в $1$ .

$5 ((- \frac{1}{3 \cdot 2^{3}}) + \frac{1}{3 \cdot 1^{3}}) - 9 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 7.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Возведем $2$ в степень $3$ .

$5 (- \frac{1}{3 \cdot 8} + \frac{1}{3 \cdot 1^{3}}) - 9 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.2

Умножим $3$ на $8$ .

$5 (- \frac{1}{24} + \frac{1}{3 \cdot 1^{3}}) - 9 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.3

Единица в любой степени равна единице.

$5 (- \frac{1}{24} + \frac{1}{3 \cdot 1}) - 9 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.4

Умножим $3$ на $1$ .

$5 (- \frac{1}{24} + \frac{1}{3}) - 9 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.5

Чтобы записать $\frac{1}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{8}{8}$ .

$5 (- \frac{1}{24} + \frac{1}{3} \cdot \frac{8}{8}) - 9 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.6

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $24$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.6.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{8}{8}$ .

$5 (- \frac{1}{24} + \frac{8}{3 \cdot 8}) - 9 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.6.2

Умножим $3$ на $8$ .

$5 (- \frac{1}{24} + \frac{8}{24}) - 9 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$5 \frac{- 1 + 8}{24} - 9 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.8

Добавим $- 1$ и $8$ .

$5 (\frac{7}{24}) - 9 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.9

Объединим $5$ и $\frac{7}{24}$ .

$\frac{5 \cdot 7}{24} - 9 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.10

Умножим $5$ на $7$ .

$\frac{35}{24} - 9 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.11

Возведем $2$ в степень $3$ .

$\frac{35}{24} - 9 (\frac{8}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.12

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{35}{24} - 9 (\frac{8}{3} - \frac{1}{3})$

Этап 7.2.3.13

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{35}{24} - 9 \frac{8 - 1}{3}$

Этап 7.2.3.14

Вычтем $1$ из $8$ .

$\frac{35}{24} - 9 (\frac{7}{3})$

Этап 7.2.3.15

Объединим $- 9$ и $\frac{7}{3}$ .

$\frac{35}{24} + \frac{- 9 \cdot 7}{3}$

Этап 7.2.3.16

Умножим $- 9$ на $7$ .

$\frac{35}{24} + \frac{- 63}{3}$

Этап 7.2.3.17

Сократим общий множитель $- 63$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.17.1

Вынесем множитель $3$ из $- 63$ .

$\frac{35}{24} + \frac{3 \cdot - 21}{3}$

Этап 7.2.3.17.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.17.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{35}{24} + \frac{3 \cdot - 21}{3 (1)}$

Этап 7.2.3.17.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{35}{24} + \frac{3 \cdot - 21}{3 \cdot 1}$

Этап 7.2.3.17.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{35}{24} + \frac{- 21}{1}$

Этап 7.2.3.17.2.4

Разделим $- 21$ на $1$ .

$\frac{35}{24} - 21$

Этап 7.2.3.18

Чтобы записать $- 21$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{24}{24}$ .

$\frac{35}{24} - 21 \cdot \frac{24}{24}$

Этап 7.2.3.19

Объединим $- 21$ и $\frac{24}{24}$ .

$\frac{35}{24} + \frac{- 21 \cdot 24}{24}$

Этап 7.2.3.20

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{35 - 21 \cdot 24}{24}$

Этап 7.2.3.21

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.21.1

Умножим $- 21$ на $24$ .

$\frac{35 - 504}{24}$

Этап 7.2.3.21.2

Вычтем $504$ из $35$ .

$\frac{- 469}{24}$

Этап 7.2.3.22

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{469}{24}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{469}{24}$

Десятичная форма:

$- 19.541\overline{6}$

Форма смешанных чисел:

$- 19 \frac{13}{24}$

Этап 9