Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{2} 3 x^{2} - 2 x + 1 d x$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{1}^{2} 3 x^{2} d x + \int_{1}^{2} - 2 x d x + \int_{1}^{2} d x$

Этап 2

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int_{1}^{2} x^{2} d x + \int_{1}^{2} - 2 x d x + \int_{1}^{2} d x$

Этап 3

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} - 2 x d x + \int_{1}^{2} d x$

Этап 4

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} - 2 x d x + \int_{1}^{2} d x$

Этап 5

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) - 2 \int_{1}^{2} x d x + \int_{1}^{2} d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) - 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} d x$

Этап 7

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} d x$

Этап 8

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}) + x]_{1}^{2}$

Этап 9

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $2$ и в $1$ .

$3 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}) - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}) + x]_{1}^{2}$

Этап 9.2

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $2$ и в $1$ .

$3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + x]_{1}^{2}$

Этап 9.3

Найдем значение $x$ в $2$ и в $1$ .

$3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (2) - 1$

Этап 9.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Возведем $2$ в степень $3$ .

$3 (\frac{8}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (2) - 1$

Этап 9.4.2

Единица в любой степени равна единице.

$3 (\frac{8}{3} - \frac{1}{3}) - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (2) - 1$

Этап 9.4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$3 \frac{8 - 1}{3} - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (2) - 1$

Этап 9.4.4

Вычтем $1$ из $8$ .

$3 (\frac{7}{3}) - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (2) - 1$

Этап 9.4.5

Объединим $3$ и $\frac{7}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 7}{3} - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (2) - 1$

Этап 9.4.6

Умножим $3$ на $7$ .

$\frac{21}{3} - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (2) - 1$

Этап 9.4.7

Сократим общий множитель $21$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.7.1

Вынесем множитель $3$ из $21$ .

$\frac{3 \cdot 7}{3} - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (2) - 1$

Этап 9.4.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.7.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 \cdot 7}{3 (1)} - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (2) - 1$

Этап 9.4.7.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 1} - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (2) - 1$

Этап 9.4.7.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{7}{1} - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (2) - 1$

Этап 9.4.7.2.4

Разделим $7$ на $1$ .

$7 - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (2) - 1$

Этап 9.4.8

Возведем $2$ в степень $2$ .

$7 - 2 (\frac{4}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (2) - 1$

Этап 9.4.9

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.9.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$7 - 2 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (2) - 1$

Этап 9.4.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.9.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$7 - 2 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{1^{2}}{2}) + (2) - 1$

Этап 9.4.9.2.2

Сократим общий множитель.

$7 - 2 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{1^{2}}{2}) + (2) - 1$

Этап 9.4.9.2.3

Перепишем это выражение.

$7 - 2 (\frac{2}{1} - \frac{1^{2}}{2}) + (2) - 1$

Этап 9.4.9.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$7 - 2 (2 - \frac{1^{2}}{2}) + (2) - 1$

Этап 9.4.10

Единица в любой степени равна единице.

$7 - 2 (2 - \frac{1}{2}) + (2) - 1$

Этап 9.4.11

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$7 - 2 (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}) + (2) - 1$

Этап 9.4.12

Объединим $2$ и $\frac{2}{2}$ .

$7 - 2 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}) + (2) - 1$

Этап 9.4.13

Объединим числители над общим знаменателем.

$7 - 2 \frac{2 \cdot 2 - 1}{2} + (2) - 1$

Этап 9.4.14

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.14.1

Умножим $2$ на $2$ .

$7 - 2 \frac{4 - 1}{2} + (2) - 1$

Этап 9.4.14.2

Вычтем $1$ из $4$ .

$7 - 2 (\frac{3}{2}) + (2) - 1$

Этап 9.4.15

Объединим $- 2$ и $\frac{3}{2}$ .

$7 + \frac{- 2 \cdot 3}{2} + (2) - 1$

Этап 9.4.16

Умножим $- 2$ на $3$ .

$7 + \frac{- 6}{2} + (2) - 1$

Этап 9.4.17

Сократим общий множитель $- 6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.17.1

Вынесем множитель $2$ из $- 6$ .

$7 + \frac{2 \cdot - 3}{2} + (2) - 1$

Этап 9.4.17.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.17.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$7 + \frac{2 \cdot - 3}{2 (1)} + (2) - 1$

Этап 9.4.17.2.2

Сократим общий множитель.

$7 + \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1} + (2) - 1$

Этап 9.4.17.2.3

Перепишем это выражение.

$7 + \frac{- 3}{1} + (2) - 1$

Этап 9.4.17.2.4

Разделим $- 3$ на $1$ .

$7 - 3 + (2) - 1$

Этап 9.4.18

Вычтем $3$ из $7$ .

$4 + (2) - 1$

Этап 9.4.19

Вычтем $1$ из $2$ .

$4 + 1$

Этап 9.4.20

Добавим $4$ и $1$ .

$5$

Этап 10