Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{3} \frac{10}{x^{3}} + 3 x d x$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{1}^{3} \frac{10}{x^{3}} d x + \int_{1}^{3} 3 x d x$

Этап 2

Поскольку $10$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $10$ из-под знака интеграла.

$10 \int_{1}^{3} \frac{1}{x^{3}} d x + \int_{1}^{3} 3 x d x$

Этап 3

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем $x^{3}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$10 \int_{1}^{3} {(x^{3})}^{- 1} d x + \int_{1}^{3} 3 x d x$

Этап 3.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$10 \int_{1}^{3} x^{3 \cdot - 1} d x + \int_{1}^{3} 3 x d x$

Этап 3.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$10 \int_{1}^{3} x^{- 3} d x + \int_{1}^{3} 3 x d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x^{- 3}$ по $x$ имеет вид $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$10 (- \frac{1}{2} x^{- 2}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} 3 x d x$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $x^{- 2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$10 (- \frac{x^{- 2}}{2}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} 3 x d x$

Этап 5.2

Перенесем $x^{- 2}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$10 (- \frac{1}{2 x^{2}}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} 3 x d x$

Этап 6

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$10 (- \frac{1}{2 x^{2}}]_{1}^{3}) + 3 \int_{1}^{3} x d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$10 (- \frac{1}{2 x^{2}}]_{1}^{3}) + 3 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{3})$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$10 (- \frac{1}{2 x^{2}}]_{1}^{3}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3})$

Этап 8.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Найдем значение $- \frac{1}{2 x^{2}}$ в $3$ и в $1$ .

$10 ((- \frac{1}{2 \cdot 3^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3})$

Этап 8.2.2

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $3$ и в $1$ .

$10 ((- \frac{1}{2 \cdot 3^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}}) + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 8.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$10 (- \frac{1}{2 \cdot 9} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}}) + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.2

Умножим $2$ на $9$ .

$10 (- \frac{1}{18} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}}) + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.3

Единица в любой степени равна единице.

$10 (- \frac{1}{18} + \frac{1}{2 \cdot 1}) + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.4

Умножим $2$ на $1$ .

$10 (- \frac{1}{18} + \frac{1}{2}) + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.5

Чтобы записать $\frac{1}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{9}{9}$ .

$10 (- \frac{1}{18} + \frac{1}{2} \cdot \frac{9}{9}) + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.6

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $18$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.6.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{9}{9}$ .

$10 (- \frac{1}{18} + \frac{9}{2 \cdot 9}) + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.6.2

Умножим $2$ на $9$ .

$10 (- \frac{1}{18} + \frac{9}{18}) + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$10 \frac{- 1 + 9}{18} + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.8

Добавим $- 1$ и $9$ .

$10 (\frac{8}{18}) + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.9

Сократим общий множитель $8$ и $18$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.9.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$10 \frac{2 (4)}{18} + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.9.2.1

Вынесем множитель $2$ из $18$ .

$10 \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 9} + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.9.2.2

Сократим общий множитель.

$10 \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 9} + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.9.2.3

Перепишем это выражение.

$10 (\frac{4}{9}) + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.10

Объединим $10$ и $\frac{4}{9}$ .

$\frac{10 \cdot 4}{9} + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.11

Умножим $10$ на $4$ .

$\frac{40}{9} + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.12

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{40}{9} + 3 (\frac{9}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.13

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{40}{9} + 3 (\frac{9}{2} - \frac{1}{2})$

Этап 8.2.3.14

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{40}{9} + 3 \frac{9 - 1}{2}$

Этап 8.2.3.15

Вычтем $1$ из $9$ .

$\frac{40}{9} + 3 (\frac{8}{2})$

Этап 8.2.3.16

Сократим общий множитель $8$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.16.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$\frac{40}{9} + 3 \frac{2 \cdot 4}{2}$

Этап 8.2.3.16.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.16.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{40}{9} + 3 \frac{2 \cdot 4}{2 (1)}$

Этап 8.2.3.16.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{40}{9} + 3 \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Этап 8.2.3.16.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{40}{9} + 3 (\frac{4}{1})$

Этап 8.2.3.16.2.4

Разделим $4$ на $1$ .

$\frac{40}{9} + 3 \cdot 4$

Этап 8.2.3.17

Умножим $3$ на $4$ .

$\frac{40}{9} + 12$

Этап 8.2.3.18

Чтобы записать $12$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{9}{9}$ .

$\frac{40}{9} + 12 \cdot \frac{9}{9}$

Этап 8.2.3.19

Объединим $12$ и $\frac{9}{9}$ .

$\frac{40}{9} + \frac{12 \cdot 9}{9}$

Этап 8.2.3.20

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{40 + 12 \cdot 9}{9}$

Этап 8.2.3.21

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.21.1

Умножим $12$ на $9$ .

$\frac{40 + 108}{9}$

Этап 8.2.3.21.2

Добавим $40$ и $108$ .

$\frac{148}{9}$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{148}{9}$

Десятичная форма:

$16.\overline{4}$

Форма смешанных чисел:

$16 \frac{4}{9}$

Этап 10