Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{3} \frac{y^{5}}{5} - \frac{1}{12 y^{3}} d y$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{1}^{3} \frac{y^{5}}{5} d y + \int_{1}^{3} - \frac{1}{12 y^{3}} d y$

Этап 2

Поскольку $\frac{1}{5}$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $\frac{1}{5}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{5} \int_{1}^{3} y^{5} d y + \int_{1}^{3} - \frac{1}{12 y^{3}} d y$

Этап 3

По правилу степени интеграл $y^{5}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{6} y^{6}$ .

$\frac{1}{5} \frac{1}{6} y^{6}]_{1}^{3} + \int_{1}^{3} - \frac{1}{12 y^{3}} d y$

Этап 4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{5} \frac{1}{6} y^{6}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{1}{12 y^{3}} d y$

Этап 5

Поскольку $\frac{1}{12}$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $\frac{1}{12}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{5} \frac{1}{6} y^{6}]_{1}^{3} - (\frac{1}{12} \int_{1}^{3} \frac{1}{y^{3}} d y)$

Этап 6

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем $y^{3}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\frac{1}{5} \frac{1}{6} y^{6}]_{1}^{3} - \frac{1}{12} \int_{1}^{3} {(y^{3})}^{- 1} d y$

Этап 6.2

Перемножим экспоненты в ${(y^{3})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{5} \frac{1}{6} y^{6}]_{1}^{3} - \frac{1}{12} \int_{1}^{3} y^{3 \cdot - 1} d y$

Этап 6.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{1}{5} \frac{1}{6} y^{6}]_{1}^{3} - \frac{1}{12} \int_{1}^{3} y^{- 3} d y$

Этап 7

По правилу степени интеграл $y^{- 3}$ по $y$ имеет вид $- \frac{1}{2} y^{- 2}$ .

$\frac{1}{5} \frac{1}{6} y^{6}]_{1}^{3} - \frac{1}{12} - \frac{1}{2} y^{- 2}]_{1}^{3}$

Этап 8

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем значение $\frac{1}{6} y^{6}$ в $3$ и в $1$ .

$\frac{1}{5} ((\frac{1}{6} \cdot 3^{6}) - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - \frac{1}{12} - \frac{1}{2} y^{- 2}]_{1}^{3}$

Этап 8.2

Найдем значение $- \frac{1}{2} y^{- 2}$ в $3$ и в $1$ .

$\frac{1}{5} (\frac{1}{6} \cdot 3^{6} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Этап 8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Возведем $3$ в степень $6$ .

$\frac{1}{5} (\frac{1}{6} \cdot 729 - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Этап 8.3.2

Объединим $\frac{1}{6}$ и $729$ .

$\frac{1}{5} (\frac{729}{6} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Этап 8.3.3

Сократим общий множитель $729$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.1

Вынесем множитель $3$ из $729$ .

$\frac{1}{5} (\frac{3 (243)}{6} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Этап 8.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$\frac{1}{5} (\frac{3 \cdot 243}{3 \cdot 2} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Этап 8.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{5} (\frac{3 \cdot 243}{3 \cdot 2} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Этап 8.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{5} (\frac{243}{2} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Этап 8.3.4

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{5} (\frac{243}{2} - \frac{1}{6} \cdot 1) - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Этап 8.3.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{5} (\frac{243}{2} - \frac{1}{6}) - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Этап 8.3.6

Чтобы записать $\frac{243}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{5} (\frac{243}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{6}) - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Этап 8.3.7

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $6$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.7.1

Умножим $\frac{243}{2}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{5} (\frac{243 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{1}{6}) - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Этап 8.3.7.2

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{1}{5} (\frac{243 \cdot 3}{6} - \frac{1}{6}) - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Этап 8.3.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{243 \cdot 3 - 1}{6} - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Этап 8.3.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.9.1

Умножим $243$ на $3$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{729 - 1}{6} - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Этап 8.3.9.2

Вычтем $1$ из $729$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{728}{6} - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Этап 8.3.10

Сократим общий множитель $728$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.10.1

Вынесем множитель $2$ из $728$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{2 (364)}{6} - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Этап 8.3.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.10.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{2 \cdot 364}{2 \cdot 3} - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Этап 8.3.10.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{2 \cdot 364}{2 \cdot 3} - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Этап 8.3.10.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{364}{3} - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Этап 8.3.11

Умножим $\frac{1}{5}$ на $\frac{364}{3}$ .

$\frac{364}{5 \cdot 3} - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Этап 8.3.12

Умножим $5$ на $3$ .

$\frac{364}{15} - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Этап 8.3.13

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{364}{15} - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Этап 8.3.14

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{364}{15} - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{9} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Этап 8.3.15

Умножим $\frac{1}{9}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{364}{15} - \frac{1}{12} (- \frac{1}{9 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Этап 8.3.16

Умножим $9$ на $2$ .

$\frac{364}{15} - \frac{1}{12} (- \frac{1}{18} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Этап 8.3.17

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{364}{15} - \frac{1}{12} (- \frac{1}{18} + \frac{1}{2} \cdot 1)$

Этап 8.3.18

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$\frac{364}{15} - \frac{1}{12} (- \frac{1}{18} + \frac{1}{2})$

Этап 8.3.19

Чтобы записать $\frac{1}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{9}{9}$ .

$\frac{364}{15} - \frac{1}{12} (- \frac{1}{18} + \frac{1}{2} \cdot \frac{9}{9})$

Этап 8.3.20

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $18$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.20.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{9}{9}$ .

$\frac{364}{15} - \frac{1}{12} (- \frac{1}{18} + \frac{9}{2 \cdot 9})$

Этап 8.3.20.2

Умножим $2$ на $9$ .

$\frac{364}{15} - \frac{1}{12} (- \frac{1}{18} + \frac{9}{18})$

Этап 8.3.21

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{364}{15} - \frac{1}{12} \cdot \frac{- 1 + 9}{18}$

Этап 8.3.22

Добавим $- 1$ и $9$ .

$\frac{364}{15} - \frac{1}{12} \cdot \frac{8}{18}$

Этап 8.3.23

Сократим общий множитель $8$ и $18$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.23.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$\frac{364}{15} - \frac{1}{12} \cdot \frac{2 (4)}{18}$

Этап 8.3.23.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.23.2.1

Вынесем множитель $2$ из $18$ .

$\frac{364}{15} - \frac{1}{12} \cdot \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 9}$

Этап 8.3.23.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{364}{15} - \frac{1}{12} \cdot \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 9}$

Этап 8.3.23.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{364}{15} - \frac{1}{12} \cdot \frac{4}{9}$

Этап 8.3.24

Умножим $\frac{4}{9}$ на $\frac{1}{12}$ .

$\frac{364}{15} - \frac{4}{9 \cdot 12}$

Этап 8.3.25

Умножим $9$ на $12$ .

$\frac{364}{15} - \frac{4}{108}$

Этап 8.3.26

Сократим общий множитель $4$ и $108$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.26.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$\frac{364}{15} - \frac{4 (1)}{108}$

Этап 8.3.26.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.26.2.1

Вынесем множитель $4$ из $108$ .

$\frac{364}{15} - \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 27}$

Этап 8.3.26.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{364}{15} - \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 27}$

Этап 8.3.26.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{364}{15} - \frac{1}{27}$

Этап 8.3.27

Чтобы записать $\frac{364}{15}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{9}{9}$ .

$\frac{364}{15} \cdot \frac{9}{9} - \frac{1}{27}$

Этап 8.3.28

Чтобы записать $- \frac{1}{27}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$\frac{364}{15} \cdot \frac{9}{9} - \frac{1}{27} \cdot \frac{5}{5}$

Этап 8.3.29

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $135$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.29.1

Умножим $\frac{364}{15}$ на $\frac{9}{9}$ .

$\frac{364 \cdot 9}{15 \cdot 9} - \frac{1}{27} \cdot \frac{5}{5}$

Этап 8.3.29.2

Умножим $15$ на $9$ .

$\frac{364 \cdot 9}{135} - \frac{1}{27} \cdot \frac{5}{5}$

Этап 8.3.29.3

Умножим $\frac{1}{27}$ на $\frac{5}{5}$ .

$\frac{364 \cdot 9}{135} - \frac{5}{27 \cdot 5}$

Этап 8.3.29.4

Умножим $27$ на $5$ .

$\frac{364 \cdot 9}{135} - \frac{5}{135}$

Этап 8.3.30

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{364 \cdot 9 - 5}{135}$

Этап 8.3.31

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.31.1

Умножим $364$ на $9$ .

$\frac{3276 - 5}{135}$

Этап 8.3.31.2

Вычтем $5$ из $3276$ .

$\frac{3271}{135}$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{3271}{135}$

Десятичная форма:

$24.2\overline{296}$

Форма смешанных чисел:

$24 \frac{31}{135}$

Этап 10