Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{3} x^{2} - 4 x + 5 d x$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{1}^{3} x^{2} d x + \int_{1}^{3} - 4 x d x + \int_{1}^{3} 5 d x$

Этап 2

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{3} + \int_{1}^{3} - 4 x d x + \int_{1}^{3} 5 d x$

Этап 3

Поскольку $- 4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 4$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{3} - 4 \int_{1}^{3} x d x + \int_{1}^{3} 5 d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{3} - 4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} 5 d x$

Этап 5

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{3} - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} 5 d x$

Этап 6

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{3} - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3}) + 5 x]_{1}^{3}$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{3}$ и $5 x]_{1}^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + 5 x]_{1}^{3} - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3})$

Этап 7.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Найдем значение $\frac{1}{3} x^{3} + 5 x$ в $3$ и в $1$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 3^{3} + 5 \cdot 3) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 5 \cdot 1) - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3})$

Этап 7.2.2

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $3$ и в $1$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 3^{3} + 5 \cdot 3) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 5 \cdot 1) - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 7.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Возведем $3$ в степень $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 27 + 5 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 5 \cdot 1) - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $27$ .

$\frac{27}{3} + 5 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 5 \cdot 1) - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.3

Сократим общий множитель $27$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.3.1

Вынесем множитель $3$ из $27$ .

$\frac{3 \cdot 9}{3} + 5 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 5 \cdot 1) - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} + 5 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 5 \cdot 1) - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} + 5 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 5 \cdot 1) - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{9}{1} + 5 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 5 \cdot 1) - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.3.2.4

Разделим $9$ на $1$ .

$9 + 5 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 5 \cdot 1) - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.4

Умножим $5$ на $3$ .

$9 + 15 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 5 \cdot 1) - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.5

Добавим $9$ и $15$ .

$24 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 5 \cdot 1) - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.6

Единица в любой степени равна единице.

$24 - (\frac{1}{3} \cdot 1 + 5 \cdot 1) - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.7

Умножим $\frac{1}{3}$ на $1$ .

$24 - (\frac{1}{3} + 5 \cdot 1) - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.8

Умножим $5$ на $1$ .

$24 - (\frac{1}{3} + 5) - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.9

Чтобы записать $5$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$24 - (\frac{1}{3} + 5 \cdot \frac{3}{3}) - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.10

Объединим $5$ и $\frac{3}{3}$ .

$24 - (\frac{1}{3} + \frac{5 \cdot 3}{3}) - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.11

Объединим числители над общим знаменателем.

$24 - \frac{1 + 5 \cdot 3}{3} - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.12

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.12.1

Умножим $5$ на $3$ .

$24 - \frac{1 + 15}{3} - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.12.2

Добавим $1$ и $15$ .

$24 - \frac{16}{3} - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.13

Чтобы записать $24$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$24 \cdot \frac{3}{3} - \frac{16}{3} - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.14

Объединим $24$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{24 \cdot 3}{3} - \frac{16}{3} - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.15

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{24 \cdot 3 - 16}{3} - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.16

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.16.1

Умножим $24$ на $3$ .

$\frac{72 - 16}{3} - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.16.2

Вычтем $16$ из $72$ .

$\frac{56}{3} - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.17

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{56}{3} - 4 (\frac{9}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.18

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{56}{3} - 4 (\frac{9}{2} - \frac{1}{2})$

Этап 7.2.3.19

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{56}{3} - 4 \frac{9 - 1}{2}$

Этап 7.2.3.20

Вычтем $1$ из $9$ .

$\frac{56}{3} - 4 (\frac{8}{2})$

Этап 7.2.3.21

Сократим общий множитель $8$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.21.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$\frac{56}{3} - 4 \frac{2 \cdot 4}{2}$

Этап 7.2.3.21.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.21.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{56}{3} - 4 \frac{2 \cdot 4}{2 (1)}$

Этап 7.2.3.21.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{56}{3} - 4 \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Этап 7.2.3.21.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{56}{3} - 4 (\frac{4}{1})$

Этап 7.2.3.21.2.4

Разделим $4$ на $1$ .

$\frac{56}{3} - 4 \cdot 4$

Этап 7.2.3.22

Умножим $- 4$ на $4$ .

$\frac{56}{3} - 16$

Этап 7.2.3.23

Чтобы записать $- 16$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{56}{3} - 16 \cdot \frac{3}{3}$

Этап 7.2.3.24

Объединим $- 16$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{56}{3} + \frac{- 16 \cdot 3}{3}$

Этап 7.2.3.25

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{56 - 16 \cdot 3}{3}$

Этап 7.2.3.26

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.26.1

Умножим $- 16$ на $3$ .

$\frac{56 - 48}{3}$

Этап 7.2.3.26.2

Вычтем $48$ из $56$ .

$\frac{8}{3}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{8}{3}$

Десятичная форма:

$2.\overline{6}$

Форма смешанных чисел:

$2 \frac{2}{3}$

Этап 9