Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{3} 2 x^{4} - 3 x^{2} d x$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{1}^{3} 2 x^{4} d x + \int_{1}^{3} - 3 x^{2} d x$

Этап 2

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int_{1}^{3} x^{4} d x + \int_{1}^{3} - 3 x^{2} d x$

Этап 3

По правилу степени интеграл $x^{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$2 (\frac{1}{5} x^{5}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} - 3 x^{2} d x$

Этап 4

Объединим $\frac{1}{5}$ и $x^{5}$ .

$2 (\frac{x^{5}}{5}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} - 3 x^{2} d x$

Этап 5

Поскольку $- 3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 3$ из-под знака интеграла.

$2 (\frac{x^{5}}{5}]_{1}^{3}) - 3 \int_{1}^{3} x^{2} d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$2 (\frac{x^{5}}{5}]_{1}^{3}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{3})$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$2 (\frac{x^{5}}{5}]_{1}^{3}) - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{3})$

Этап 7.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Найдем значение $\frac{x^{5}}{5}$ в $3$ и в $1$ .

$2 ((\frac{3^{5}}{5}) - \frac{1^{5}}{5}) - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{3})$

Этап 7.2.2

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $3$ и в $1$ .

$2 (\frac{3^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5}) - 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 7.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Возведем $3$ в степень $5$ .

$2 (\frac{243}{5} - \frac{1^{5}}{5}) - 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.2

Единица в любой степени равна единице.

$2 (\frac{243}{5} - \frac{1}{5}) - 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 \frac{243 - 1}{5} - 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.4

Вычтем $1$ из $243$ .

$2 (\frac{242}{5}) - 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.5

Объединим $2$ и $\frac{242}{5}$ .

$\frac{2 \cdot 242}{5} - 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.6

Умножим $2$ на $242$ .

$\frac{484}{5} - 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.7

Возведем $3$ в степень $3$ .

$\frac{484}{5} - 3 (\frac{27}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.8

Сократим общий множитель $27$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.8.1

Вынесем множитель $3$ из $27$ .

$\frac{484}{5} - 3 (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.8.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{484}{5} - 3 (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.8.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{484}{5} - 3 (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.8.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{484}{5} - 3 (\frac{9}{1} - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.8.2.4

Разделим $9$ на $1$ .

$\frac{484}{5} - 3 (9 - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.9

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{484}{5} - 3 (9 - \frac{1}{3})$

Этап 7.2.3.10

Чтобы записать $9$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{484}{5} - 3 (9 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3})$

Этап 7.2.3.11

Объединим $9$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{484}{5} - 3 (\frac{9 \cdot 3}{3} - \frac{1}{3})$

Этап 7.2.3.12

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{484}{5} - 3 \frac{9 \cdot 3 - 1}{3}$

Этап 7.2.3.13

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.13.1

Умножим $9$ на $3$ .

$\frac{484}{5} - 3 \frac{27 - 1}{3}$

Этап 7.2.3.13.2

Вычтем $1$ из $27$ .

$\frac{484}{5} - 3 (\frac{26}{3})$

Этап 7.2.3.14

Объединим $- 3$ и $\frac{26}{3}$ .

$\frac{484}{5} + \frac{- 3 \cdot 26}{3}$

Этап 7.2.3.15

Умножим $- 3$ на $26$ .

$\frac{484}{5} + \frac{- 78}{3}$

Этап 7.2.3.16

Сократим общий множитель $- 78$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.16.1

Вынесем множитель $3$ из $- 78$ .

$\frac{484}{5} + \frac{3 \cdot - 26}{3}$

Этап 7.2.3.16.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.16.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{484}{5} + \frac{3 \cdot - 26}{3 (1)}$

Этап 7.2.3.16.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{484}{5} + \frac{3 \cdot - 26}{3 \cdot 1}$

Этап 7.2.3.16.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{484}{5} + \frac{- 26}{1}$

Этап 7.2.3.16.2.4

Разделим $- 26$ на $1$ .

$\frac{484}{5} - 26$

Этап 7.2.3.17

Чтобы записать $- 26$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$\frac{484}{5} - 26 \cdot \frac{5}{5}$

Этап 7.2.3.18

Объединим $- 26$ и $\frac{5}{5}$ .

$\frac{484}{5} + \frac{- 26 \cdot 5}{5}$

Этап 7.2.3.19

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{484 - 26 \cdot 5}{5}$

Этап 7.2.3.20

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.20.1

Умножим $- 26$ на $5$ .

$\frac{484 - 130}{5}$

Этап 7.2.3.20.2

Вычтем $130$ из $484$ .

$\frac{354}{5}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{354}{5}$

Десятичная форма:

$70.8$

Форма смешанных чисел:

$70 \frac{4}{5}$

Этап 9