Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{2} y \sin (x y) d x$

Этап 1

Поскольку $y$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $y$ из-под знака интеграла.

$y \int_{1}^{2} \sin (x y) d x$

Этап 2

Пусть $u = x y$ . Тогда $d u = y d x$ , следовательно $\frac{1}{y} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = x y$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $x y$ .

$\frac{d}{d x} [x y]$

Этап 2.1.2

Поскольку $y$ является константой относительно $x$ , производная $x y$ по $x$ равна $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$y \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$y \cdot 1$

Этап 2.1.4

Умножим $y$ на $1$ .

$y$

Этап 2.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = x y$ .

$u_{lower} = 1 y$

Этап 2.3

Умножим $y$ на $1$ .

$u_{lower} = y$

Этап 2.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = x y$ .

$u_{upper} = 2 y$

Этап 2.5

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = y$

$u_{upper} = 2 y$

Этап 2.6

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$y \int_{y}^{2 y} \sin (u) \frac{1}{y} d u$

Этап 3

Объединим $\sin (u)$ и $\frac{1}{y}$ .

$y \int_{y}^{2 y} \frac{\sin (u)}{y} d u$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{y}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{y}$ из-под знака интеграла.

$y (\frac{1}{y} \int_{y}^{2 y} \sin (u) d u)$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $\frac{1}{y}$ и $y$ .

$\frac{y}{y} \int_{y}^{2 y} \sin (u) d u$

Этап 5.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y}{y} \int_{y}^{2 y} \sin (u) d u$

Этап 5.2.2

Перепишем это выражение.

$1 \int_{y}^{2 y} \sin (u) d u$

Этап 5.3

Умножим $\int_{y}^{2 y} \sin (u) d u$ на $1$ .

$\int_{y}^{2 y} \sin (u) d u$

Этап 6

Интеграл $\sin (u)$ по $u$ имеет вид $- \cos (u)$ .

$- \cos (u)]_{y}^{2 y}$

Этап 7

Найдем значение $- \cos (u)$ в $2 y$ и в $y$ .

$- \cos (2 y) + \cos (y)$