Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{2} 2 (x^{- 2} + 3 x) x^{2} d x$

Этап 1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int_{1}^{2} (2 x^{- 2} + 2 (3 x)) x^{2} d x$

Этап 1.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\int_{1}^{2} (2 x^{- 2} + 6 x) x^{2} d x$

Этап 1.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\int_{1}^{2} (2 \frac{1}{x^{2}} + 6 x) x^{2} d x$

Этап 1.3.2

Объединим $2$ и $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\int_{1}^{2} (\frac{2}{x^{2}} + 6 x) x^{2} d x$

Этап 1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\int_{1}^{2} \frac{2}{x^{2}} x^{2} + 6 x \cdot x^{2} d x$

Этап 1.5

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Сократим общий множитель.

$\int_{1}^{2} \frac{2}{x^{2}} x^{2} + 6 x \cdot x^{2} d x$

Этап 1.5.2

Перепишем это выражение.

$\int_{1}^{2} 2 + 6 x \cdot x^{2} d x$

Этап 1.6

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Перенесем $x^{2}$ .

$\int_{1}^{2} 2 + 6 (x^{2} x) d x$

Этап 1.6.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int_{1}^{2} 2 + 6 (x^{2} x^{1}) d x$

Этап 1.6.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int_{1}^{2} 2 + 6 x^{2 + 1} d x$

Этап 1.6.3

Добавим $2$ и $1$ .

$\int_{1}^{2} 2 + 6 x^{3} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{1}^{2} 2 d x + \int_{1}^{2} 6 x^{3} d x$

Этап 3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$2 x]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} 6 x^{3} d x$

Этап 4

Поскольку $6$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $6$ из-под знака интеграла.

$2 x]_{1}^{2} + 6 \int_{1}^{2} x^{3} d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$2 x]_{1}^{2} + 6 (\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{2})$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{4}$ .

$2 x]_{1}^{2} + 6 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{2})$

Этап 6.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Найдем значение $2 x$ в $2$ и в $1$ .

$(2 \cdot 2) - 2 \cdot 1 + 6 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{2})$

Этап 6.2.2

Найдем значение $\frac{x^{4}}{4}$ в $2$ и в $1$ .

$2 \cdot 2 - 2 \cdot 1 + 6 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Этап 6.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Умножим $2$ на $2$ .

$4 - 2 \cdot 1 + 6 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Этап 6.2.3.2

Умножим $- 2$ на $1$ .

$4 - 2 + 6 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Этап 6.2.3.3

Вычтем $2$ из $4$ .

$2 + 6 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Этап 6.2.3.4

Возведем $2$ в степень $4$ .

$2 + 6 (\frac{16}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Этап 6.2.3.5

Сократим общий множитель $16$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.5.1

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

$2 + 6 (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Этап 6.2.3.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.5.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$2 + 6 (\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{1^{4}}{4})$

Этап 6.2.3.5.2.2

Сократим общий множитель.

$2 + 6 (\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{1^{4}}{4})$

Этап 6.2.3.5.2.3

Перепишем это выражение.

$2 + 6 (\frac{4}{1} - \frac{1^{4}}{4})$

Этап 6.2.3.5.2.4

Разделим $4$ на $1$ .

$2 + 6 (4 - \frac{1^{4}}{4})$

Этап 6.2.3.6

Единица в любой степени равна единице.

$2 + 6 (4 - \frac{1}{4})$

Этап 6.2.3.7

Чтобы записать $4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$2 + 6 (4 \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4})$

Этап 6.2.3.8

Объединим $4$ и $\frac{4}{4}$ .

$2 + 6 (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4})$

Этап 6.2.3.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 + 6 \frac{4 \cdot 4 - 1}{4}$

Этап 6.2.3.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.10.1

Умножим $4$ на $4$ .

$2 + 6 \frac{16 - 1}{4}$

Этап 6.2.3.10.2

Вычтем $1$ из $16$ .

$2 + 6 (\frac{15}{4})$

Этап 6.2.3.11

Объединим $6$ и $\frac{15}{4}$ .

$2 + \frac{6 \cdot 15}{4}$

Этап 6.2.3.12

Умножим $6$ на $15$ .

$2 + \frac{90}{4}$

Этап 6.2.3.13

Сократим общий множитель $90$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.13.1

Вынесем множитель $2$ из $90$ .

$2 + \frac{2 (45)}{4}$

Этап 6.2.3.13.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.13.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$2 + \frac{2 \cdot 45}{2 \cdot 2}$

Этап 6.2.3.13.2.2

Сократим общий множитель.

$2 + \frac{2 \cdot 45}{2 \cdot 2}$

Этап 6.2.3.13.2.3

Перепишем это выражение.

$2 + \frac{45}{2}$

Этап 6.2.3.14

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{45}{2}$

Этап 6.2.3.15

Объединим $2$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{45}{2}$

Этап 6.2.3.16

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 \cdot 2 + 45}{2}$

Этап 6.2.3.17

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.17.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{4 + 45}{2}$

Этап 6.2.3.17.2

Добавим $4$ и $45$ .

$\frac{49}{2}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{49}{2}$

Десятичная форма:

$24.5$

Форма смешанных чисел:

$24 \frac{1}{2}$

Этап 8