Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{2} \frac{t^{8} - t^{4}}{t^{6}} d t$

Этап 1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $t^{4}$ из $t^{8} - t^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Вынесем множитель $t^{4}$ из $t^{8}$ .

$\int_{1}^{2} \frac{t^{4} t^{4} - t^{4}}{t^{6}} d t$

Этап 1.1.1.2

Вынесем множитель $t^{4}$ из $- t^{4}$ .

$\int_{1}^{2} \frac{t^{4} t^{4} + t^{4} \cdot - 1}{t^{6}} d t$

Этап 1.1.1.3

Вынесем множитель $t^{4}$ из $t^{4} t^{4} + t^{4} \cdot - 1$ .

$\int_{1}^{2} \frac{t^{4} (t^{4} - 1)}{t^{6}} d t$

Этап 1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вынесем множитель $t^{4}$ из $t^{6}$ .

$\int_{1}^{2} \frac{t^{4} (t^{4} - 1)}{t^{4} t^{2}} d t$

Этап 1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\int_{1}^{2} \frac{t^{4} (t^{4} - 1)}{t^{4} t^{2}} d t$

Этап 1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\int_{1}^{2} \frac{t^{4} - 1}{t^{2}} d t$

Этап 1.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем $t^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int_{1}^{2} (t^{4} - 1) {(t^{2})}^{- 1} d t$

Этап 1.2.2

Перемножим экспоненты в ${(t^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{2} (t^{4} - 1) t^{2 \cdot - 1} d t$

Этап 1.2.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\int_{1}^{2} (t^{4} - 1) t^{- 2} d t$

Этап 2

Умножим $(t^{4} - 1) t^{- 2}$ .

$\int_{1}^{2} t^{4} t^{- 2} - 1 t^{- 2} d t$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $t^{4}$ на $t^{- 2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int_{1}^{2} t^{4 - 2} - 1 t^{- 2} d t$

Этап 3.1.2

Вычтем $2$ из $4$ .

$\int_{1}^{2} t^{2} - 1 t^{- 2} d t$

Этап 3.2

Перепишем $- 1 t^{- 2}$ в виде $- t^{- 2}$ .

$\int_{1}^{2} t^{2} - t^{- 2} d t$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{1}^{2} t^{2} d t + \int_{1}^{2} - t^{- 2} d t$

Этап 5

По правилу степени интеграл $t^{2}$ по $t$ имеет вид $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$\frac{1}{3} t^{3}]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} - t^{- 2} d t$

Этап 6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} t^{3}]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} t^{- 2} d t$

Этап 7

По правилу степени интеграл $t^{- 2}$ по $t$ имеет вид $- t^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} t^{3}]_{1}^{2} - (- t^{- 1}]_{1}^{2})$

Этап 8

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем значение $\frac{1}{3} t^{3}$ в $2$ и в $1$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 2^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} - (- t^{- 1}]_{1}^{2})$

Этап 8.2

Найдем значение $- t^{- 1}$ в $2$ и в $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} - (- 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Этап 8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Возведем $2$ в степень $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 8 - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} - (- 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Этап 8.3.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $8$ .

$\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} - (- 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Этап 8.3.3

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1 - (- 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Этап 8.3.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{8}{3} - \frac{1}{3} - (- 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Этап 8.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{8 - 1}{3} - (- 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Этап 8.3.6

Вычтем $1$ из $8$ .

$\frac{7}{3} - (- 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Этап 8.3.7

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{7}{3} - (- \frac{1}{2} + 1^{- 1})$

Этап 8.3.8

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{7}{3} - (- \frac{1}{2} + 1)$

Этап 8.3.9

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{7}{3} - (- \frac{1}{2} + \frac{2}{2})$

Этап 8.3.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{7}{3} - \frac{- 1 + 2}{2}$

Этап 8.3.11

Добавим $- 1$ и $2$ .

$\frac{7}{3} - \frac{1}{2}$

Этап 8.3.12

Чтобы записать $\frac{7}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{7}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Этап 8.3.13

Чтобы записать $- \frac{1}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{7}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 8.3.14

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $6$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.14.1

Умножим $\frac{7}{3}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{7 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 8.3.14.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{7 \cdot 2}{6} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 8.3.14.3

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{7 \cdot 2}{6} - \frac{3}{2 \cdot 3}$

Этап 8.3.14.4

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{7 \cdot 2}{6} - \frac{3}{6}$

Этап 8.3.15

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{7 \cdot 2 - 3}{6}$

Этап 8.3.16

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.16.1

Умножим $7$ на $2$ .

$\frac{14 - 3}{6}$

Этап 8.3.16.2

Вычтем $3$ из $14$ .

$\frac{11}{6}$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{11}{6}$

Десятичная форма:

$1.8\overline{3}$

Форма смешанных чисел:

$1 \frac{5}{6}$

Этап 10