Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{2} \frac{x - 4}{x^{2}} d x$

Этап 1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int_{1}^{2} (x - 4) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Этап 1.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{2} (x - 4) x^{2 \cdot - 1} d x$

Этап 1.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\int_{1}^{2} (x - 4) x^{- 2} d x$

Этап 2

Умножим $(x - 4) x^{- 2}$ .

$\int_{1}^{2} x \cdot x^{- 2} - 4 x^{- 2} d x$

Этап 3

Умножим $x$ на $x^{- 2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $x$ на $x^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int_{1}^{2} x^{1} x^{- 2} - 4 x^{- 2} d x$

Этап 3.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int_{1}^{2} x^{1 - 2} - 4 x^{- 2} d x$

Этап 3.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\int_{1}^{2} x^{- 1} - 4 x^{- 2} d x$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{1}^{2} x^{- 1} d x + \int_{1}^{2} - 4 x^{- 2} d x$

Этап 5

Интеграл $x^{- 1}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |)]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} - 4 x^{- 2} d x$

Этап 6

Поскольку $- 4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 4$ из-под знака интеграла.

$\ln (| x |)]_{1}^{2} - 4 \int_{1}^{2} x^{- 2} d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$\ln (| x |)]_{1}^{2} - 4 (- x^{- 1}]_{1}^{2})$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Найдем значение $\ln (| x |)$ в $2$ и в $1$ .

$(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |) - 4 (- x^{- 1}]_{1}^{2})$

Этап 8.1.2

Найдем значение $- x^{- 1}$ в $2$ и в $1$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - 4 (- 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Этап 8.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.3.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - 4 (- \frac{1}{2} + 1^{- 1})$

Этап 8.1.3.2

Единица в любой степени равна единице.

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - 4 (- \frac{1}{2} + 1)$

Этап 8.1.3.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - 4 (- \frac{1}{2} + \frac{2}{2})$

Этап 8.1.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - 4 \frac{- 1 + 2}{2}$

Этап 8.1.3.5

Добавим $- 1$ и $2$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - 4 (\frac{1}{2})$

Этап 8.1.3.6

Объединим $- 4$ и $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) + \frac{- 4}{2}$

Этап 8.1.3.7

Сократим общий множитель $- 4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.3.7.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) + \frac{2 \cdot - 2}{2}$

Этап 8.1.3.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.3.7.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) + \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}$

Этап 8.1.3.7.2.2

Сократим общий множитель.

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) + \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Этап 8.1.3.7.2.3

Перепишем это выражение.

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) + \frac{- 2}{1}$

Этап 8.1.3.7.2.4

Разделим $- 2$ на $1$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - 2$

Этап 8.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |}) - 2$

Этап 8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$\ln (\frac{2}{| 1 |}) - 2$

Этап 8.3.2

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\ln (\frac{2}{1}) - 2$

Этап 8.3.3

Разделим $2$ на $1$ .

$\ln (2) - 2$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\ln (2) - 2$

Десятичная форма:

$- 1.30685281 \dots$

Этап 10