Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{2} \frac{1}{x \ln ({(x)}^{p})} d x$

Этап 1

Перепишем $\frac{1}{x \ln (x^{p})}$ в виде $\frac{1}{x (p \ln (x))}$ .

$\int_{1}^{2} \frac{1}{x (p \ln (x))} d x$

Этап 2

Поскольку $\frac{1}{p}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{p}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{p} \int_{1}^{2} \frac{1}{x (\ln (x))} d x$

Этап 3

Пусть $u = \ln (x)$ . Тогда $d u = \frac{1}{x} d x$ , следовательно $x d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть $u = \ln (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Дифференцируем $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 3.1.2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Этап 3.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = \ln (x)$ .

$u_{lower} = \ln (1)$

Этап 3.3

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 3.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = \ln (x)$ .

$u_{upper} = \ln (2)$

Этап 3.5

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \ln (2)$

Этап 3.6

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\frac{1}{p} \int_{0}^{\ln (2)} \frac{1}{u} d u$

Этап 4

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{p} \ln (| u |)]_{0}^{\ln (2)}$

Этап 5

Объединим $\frac{1}{p}$ и $\ln (| u |)]_{0}^{\ln (2)}$ .

$\frac{\ln (| u |)]_{0}^{\ln (2)}}{p}$

Этап 6

Найдем значение $\ln (| u |)$ в $\ln (2)$ и в $0$ .

$\frac{\ln (| \ln (2) |) - \ln (| 0 |)}{p}$

Этап 7

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{| \ln (2) |}{| 0 |})}{p}$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $0$ равно $0$ .

$\frac{\ln (\frac{| \ln (2) |}{0})}{p}$

Этап 8.2

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{\ln (\frac{| \ln (2) |}{0})}{p}$

Этап 9

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные