Математический анализ Примеры

\int_{1}^{2} \frac{1}{x \ln ({(x)}^{p})} d x

$\int_{1}^{2} \frac{1}{x \ln ({(x)}^{p})} d x$

Этап 1

Перепишем

\frac{1}{x \ln (x^{p})}

$\frac{1}{x \ln (x^{p})}$ в виде

\frac{1}{x (p \ln (x))}

$\frac{1}{x (p \ln (x))}$ .

\int_{1}^{2} \frac{1}{x (p \ln (x))} d x

$\int_{1}^{2} \frac{1}{x (p \ln (x))} d x$

Этап 2

Поскольку

\frac{1}{p}

$\frac{1}{p}$ — константа по отношению к

x

$x$ , вынесем

\frac{1}{p}

$\frac{1}{p}$ из-под знака интеграла.

\frac{1}{p} \int_{1}^{2} \frac{1}{x (\ln (x))} d x

$\frac{1}{p} \int_{1}^{2} \frac{1}{x (\ln (x))} d x$

Этап 3

Пусть

u = \ln (x)

$u = \ln (x)$ . Тогда

d u = \frac{1}{x} d x

$d u = \frac{1}{x} d x$ , следовательно

x d u = d x

$x d u = d x$ . Перепишем, используя

u

$u$ и

d

$d$

u

$u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть

u = \ln (x)

$u = \ln (x)$ . Найдем

\frac{d u}{d x}

$\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Дифференцируем

\ln (x)

$\ln (x)$ .

\frac{d}{d x} [\ln (x)]

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 3.1.2

Производная

\ln (x)

$\ln (x)$ по

x

$x$ равна

\frac{1}{x}

$\frac{1}{x}$ .

\frac{1}{x}

$\frac{1}{x}$

\frac{1}{x}

$\frac{1}{x}$

Этап 3.2

Подставим нижнее предельное значение вместо

x

$x$ в

u = \ln (x)

$u = \ln (x)$ .

u_{lower} = \ln (1)

$u_{lower} = \ln (1)$

Этап 3.3

Натуральный логарифм

1

$1$ равен

0

$0$ .

u_{lower} = 0

$u_{lower} = 0$

Этап 3.4

Подставим верхнее предельное значение вместо

x

$x$ в

u = \ln (x)

$u = \ln (x)$ .

u_{upper} = \ln (2)

$u_{upper} = \ln (2)$

Этап 3.5

Значения, найденные для

u_{lower}

$u_{lower}$ и

u_{upper}

$u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

u_{lower} = 0

$u_{lower} = 0$

u_{upper} = \ln (2)

$u_{upper} = \ln (2)$

Этап 3.6

Переформулируем задачу, используя

u

$u$ ,

d u

$d u$ и новые пределы интегрирования.

\frac{1}{p} \int_{0}^{\ln (2)} \frac{1}{u} d u

$\frac{1}{p} \int_{0}^{\ln (2)} \frac{1}{u} d u$

\frac{1}{p} \int_{0}^{\ln (2)} \frac{1}{u} d u

$\frac{1}{p} \int_{0}^{\ln (2)} \frac{1}{u} d u$

Этап 4

Интеграл

\frac{1}{u}

$\frac{1}{u}$ по

u

$u$ имеет вид

\ln (| u |)

$\ln (| u |)$ .

\frac{1}{p} \ln (| u |)]_{0}^{\ln (2)}

$\frac{1}{p} \ln (| u |)]_{0}^{\ln (2)}$

Этап 5

Объединим

\frac{1}{p}

$\frac{1}{p}$ и

\ln (| u |)]_{0}^{\ln (2)}

$\ln (| u |)]_{0}^{\ln (2)}$ .

\frac{\ln (| u |)]_{0}^{\ln (2)}}{p}

$\frac{\ln (| u |)]_{0}^{\ln (2)}}{p}$

Этап 6

Найдем значение

\ln (| u |)

$\ln (| u |)$ в

\ln (2)

$\ln (2)$ и в

0

$0$ .

\frac{\ln (| \ln (2) |) - \ln (| 0 |)}{p}

$\frac{\ln (| \ln (2) |) - \ln (| 0 |)}{p}$

Этап 7

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием:

\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})

$\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

\frac{\ln (\frac{| \ln (2) |}{| 0 |})}{p}

$\frac{\ln (\frac{| \ln (2) |}{| 0 |})}{p}$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между

0

$0$ и

0

$0$ равно

0

$0$ .

\frac{\ln (\frac{| \ln (2) |}{0})}{p}

$\frac{\ln (\frac{| \ln (2) |}{0})}{p}$

Этап 8.2

Выражение содержит деление на

0

$0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

\frac{\ln (\frac{| \ln (2) |}{0})}{p}

$\frac{\ln (\frac{| \ln (2) |}{0})}{p}$

Этап 9

Выражение содержит деление на

0

$0$ . Выражение не определено.

Неопределенные