Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{2} \frac{6 x - 1}{3 x^{2} - x} d x$

Этап 1

Пусть $u = 3 x^{2} - x$ . Тогда $d u = (6 x - 1) d x$ , следовательно $\frac{1}{6 x - 1} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = 3 x^{2} - x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $3 x^{2} - x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} - x]$

Этап 1.1.2

По правилу суммы производная $3 x^{2} - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 1.1.3.3

Умножим $2$ на $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 1.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x - \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$6 x - 1 \cdot 1$

Этап 1.1.4.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$6 x - 1$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = 3 x^{2} - x$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$u_{lower} = 3 \cdot 1 - 1 \cdot 1$

Этап 1.3.1.2

Умножим $3$ на $1$ .

$u_{lower} = 3 - 1 \cdot 1$

Этап 1.3.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$u_{lower} = 3 - 1$

Этап 1.3.2

Вычтем $1$ из $3$ .

$u_{lower} = 2$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = 3 x^{2} - x$ .

$u_{upper} = 3 \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$u_{upper} = 3 \cdot 4 - 1 \cdot 2$

Этап 1.5.1.2

Умножим $3$ на $4$ .

$u_{upper} = 12 - 1 \cdot 2$

Этап 1.5.1.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$u_{upper} = 12 - 2$

Этап 1.5.2

Вычтем $2$ из $12$ .

$u_{upper} = 10$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 10$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{2}^{10} \frac{1}{u} d u$

Этап 2

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |)]_{2}^{10}$

Этап 3

Найдем значение $\ln (| u |)$ в $10$ и в $2$ .

$\ln (| 10 |) - \ln (| 2 |)$

Этап 4

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 10 |}{| 2 |})$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $10$ равно $10$ .

$\ln (\frac{10}{| 2 |})$

Этап 5.2

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$\ln (\frac{10}{2})$

Этап 5.3

Разделим $10$ на $2$ .

$\ln (5)$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\ln (5)$

Десятичная форма:

$1.60943791 \dots$

Этап 7